何を削ったか

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第6章 §4.6.5　★★ 光の場の1次（黄金律）と長波長近似・電子と正孔の引力と局所場（独立粒子の吸収）・励起子の有効質量近似の3つを削った。前の2つで吸収端の形と位置が、3つめで励起子の線の位置が決まり、それぞれの破れ方が測れる

この章の $\hat H$ (4.6.4) と計算から削ったものは次の5つである。

第一に、光の場について1次までしか取っていない。$A^2$ の項と2次以上の摂動を捨て、黄金律で遷移の率を数えた。光が強くなると、2光子吸収（$\hbar\omega$ の2倍のギャップを越える）や吸収の飽和が起き、$\varepsilon_{\mathrm r}$ は光の強さによるようになる。これは非線形光学の領域で、光学と量子エレクトロニクス 第17章で扱う。黄金律そのものは、光の場の強さを $0$ に送り、観測する時間をそれに応じて伸ばす極限で出る。

第二に、光の波数 $\bm{q}$ を $0$ とした（長波長近似）。可視光の $\lambda=500\,\mathrm{nm}$ と格子間隔 $0.5\,\mathrm{nm}$ で $qa=6.3\times10^{-3}$ なので、縦の遷移のずれは無視できる。$\bm{q}$ の1次は四重極と磁気双極子の遷移で、双極子遷移が禁じられた所（4.6.2節の禁制遷移の端）でだけ現れる。間接遷移は $\bm{q}$ でなくフォノンが波数を受け持つ別の過程である。

第三に、電子と正孔の引力を、4.6.2節では削り、4.6.3節で有効質量の水素原子として戻した。この戻し方は、励起子が格子間隔より十分大きいことを前提にしている。バンド間遷移の全体を独立な電子と正孔の対として数える近似（独立粒子近似）は、励起子の効果を落とすだけでなく、バンドそのものを1電子の平均場（Hartree–Fock や DFT のバンド）で決めているので、ギャップの値も平均場の値になる。DFT の Kohn–Sham のバンドのギャップが実際の吸収端より小さく出ることはよく知られた例で、その差は1電子の描像の外にある。

第四に、局所場を削った。光の電場は単位胞の中で一様でも、電子の分極は原子の近くで強く、各原子が感じる場はマクロな平均の場と違う（Clausius–Mossotti の局所場。光学と量子エレクトロニクス 第11章）。バンドの言葉では、逆格子ベクトル $\bm{G}\neq0$ の成分の応答がマクロな応答に混ざる効果で、式 (4.6.6) には入っていない。

第五に、有限温度とバンドの占有の変化を削った。$T=0$ で価電子帯を満たし伝導帯を空とした。ドープした半導体では伝導帯の底が埋まって縦の遷移が禁じられ、吸収端が上へずれる（総合問題の (3)）。