何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第4部 第6章 §4.6.6　★★ 透過と反射から $\alpha$ と $\varepsilon_{\mathrm r}$、エリプソメトリで $\varepsilon_1,\varepsilon_2$、電子エネルギー損失で $-\operatorname{Im}(1/\varepsilon_{\mathrm r})$ を測る。授業の $\alpha\propto\sqrt{\hbar\omega-E_{\mathrm g}}$ と Tauc のプロットは、結合状態密度と状態密度の畳み込みの言い直しである

何を測るか

吸収係数 $\alpha(\omega)$ は、厚さの違う薄い試料の透過率の比から測る。吸収が強い所では試料を薄くする必要があり、吸収端の近くの $10^4\,\mathrm{cm^{-1}}$ の程度の吸収には $\mathrm{\mu m}$ 以下の膜が要る。反射率 $R(\omega)$ は厚い試料で広い振動数範囲にわたって測り、Kramers–Kronig の関係で反射の位相を出して $\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)$ を組み立てる（光学と量子エレクトロニクス 第12章）。エリプソメトリ（斜めに入射させた光の偏りの変化を測る方法）は、1つの振動数で $\varepsilon_1$ と $\varepsilon_2$ を直接求めることができるので、臨界点の山の位置を精度よく決めるのに使われる。電子エネルギー損失分光は、薄膜を通った速い電子が失ったエネルギーの分布 $\propto-\operatorname{Im}[1/\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)]$ を測るもので、例題 4.6.5 のようにプラズモンの振動数が分かる。励起子の線は低温の吸収・反射のほか、光を当てて出てくる光（フォトルミネッセンス）でも見え、遠赤外の反射帯は赤外分光の反射率で見える。

測った量と模型の量を結ぶのは、吸収の形（$\sqrt{\phantom{x}}$・段・2乗・逆平方根）と、その形が切り替わる臨界点の位置である。バンド計算の $\varepsilon _n(\bm{k})$ から式 (4.6.6) の $\varepsilon_2$ を計算し、測った $\varepsilon_2$ の山の位置と比べることが、バンド図を検証する最も直接の方法になる。

授業で習った形との対応

学部の授業では、光学定数を $\tilde n=n+\mathrm{i}\kappa$、吸収係数を $\alpha=4\pi\kappa/\lambda$（$\lambda$ は真空の波長）と書くことが多い。$\lambda=2\pi c/\omega$ を入れると式 (4.6.1) の $\alpha=2\omega\kappa/c$ と同じである。工学の流儀で時間依存を $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$（$j\omega$）と書く教科書では、複素屈折率が $n-\mathrm{i}\kappa$、誘電関数が $\varepsilon_1-\mathrm{i}\varepsilon_2$ になり、虚部の符号が逆になる。吸収が正になる量を取るという点は同じである。

バンド間遷移の $\varepsilon_2$ は、CGS 単位系（Gauss 単位）の教科書では

$$\varepsilon_2(\omega)=\frac{4\pi^2e^2}{m^2\omega^2}\cdot\frac{2}{V}\sum_{\bm{k}}\lvert \bm{e}\cdot\bm{p}_{\mathrm{cv}}\rvert ^2\delta(\varepsilon _{\mathrm c}-\varepsilon _{\mathrm v}-\hbar\omega)$$

と書かれる。$e^2\to e^2/(4\pi\varepsilon_0)$ と置き換えると、$4\pi^2e^2\to\pi e^2/\varepsilon_0$ で式 (4.6.6) になる。

吸収端の形は、授業では次のように覚えることが多い。直接遷移の許容遷移で $\alpha\hbar\omega\propto(\hbar\omega-E_{\mathrm g})^{1/2}$、禁制遷移で $(\hbar\omega-E_{\mathrm g})^{3/2}$、間接遷移で $(\hbar\omega-E_{\mathrm g}\pm\hbar\Omega)^2$。これらは、式 (4.6.9) の3次元の結合状態密度、行列要素の $k^2$、式 (4.6.11) の状態密度の畳み込みをそれぞれ言い直したものである。測った $\alpha$ から $E_{\mathrm g}$ を読むときは、$(\alpha\hbar\omega)^2$（直接）か $(\alpha\hbar\omega)^{1/2}$（間接）を $\hbar\omega$ に対して描き、直線部分を $0$ まで延ばした切片を $E_{\mathrm g}$ とする（Tauc のプロット）。どちらの描き方で直線になるかが、直接か間接かの判定にもなる。ただし吸収端のすぐ近くは励起子と乱れで丸まるので（図 4.6.2）、直線部分は吸収端から少し上で取る。

イオン結晶の誘電関数は、授業では $\varepsilon(\omega)=\varepsilon(\infty)+\frac{\varepsilon(0)-\varepsilon(\infty)}{1-\omega^2/\omega_{\mathrm{TO}}^2}$ と書かれ、Lyddane–Sachs–Teller の関係は $\omega_{\mathrm{LO}}^2/\omega_{\mathrm{TO}}^2=\varepsilon(0)/\varepsilon(\infty)$ と書かれる。式 (4.6.18) と式 (4.6.19) は記号を変えただけで同じ式である。