この章のまとめ

(1) 吸収端の近くで $\varepsilon _{\mathrm c}-\varepsilon _{\mathrm v}=E_{\mathrm g}+\hbar^2k^2/(2m_{\mathrm r})$ なので、結合状態密度は第2部第6章の3次元の自由電子の状態密度で $m\to m_{\mathrm r}$ としたもの、$D_{\mathrm{cv}}=\frac{1}{2\pi^2}(2m_{\mathrm r}/\hbar^2)^{3/2}\sqrt{\hbar\omega-E_{\mathrm g}}$ である（式 (4.6.9)）。行列要素を一定とすれば式 (4.6.7) から $\varepsilon_2\propto\sqrt{\hbar\omega-E_{\mathrm g}}/\omega^2$。換算質量は $m_{\mathrm r}=0.07\times0.5/0.57\,m=0.0614m$。

(2) $R^*=13.6\,\mathrm{eV}\times0.0614/144=5.80\,\mathrm{meV}$、$a^*=12/0.0614\times0.0529\,\mathrm{nm}=10.3\,\mathrm{nm}$。$k_{\mathrm B} T$ は 77 K で $6.6\,\mathrm{meV}$、300 K で $25.9\,\mathrm{meV}$ である。77 K では $k_{\mathrm B} T$ が $R^*$ と同じ程度なので $n=1$ の線は幅が広がりながら吸収端の肩として見え、300 K では熱で壊れて線としては見えない（ただし例題 4.6.7 のとおり、吸収端の上の吸収の大きさには引力が残る）。

(3) 伝導帯の電子は両スピンで $n_{\mathrm e}=k_{\mathrm F}^3/(3\pi^2)$ なので $k_{\mathrm F}=(3\pi^2n_{\mathrm e})^{1/3}=3.09\times10^8\,\mathrm{m^{-1}}$、$\varepsilon _{\mathrm F}=\hbar^2k_{\mathrm F}^2/(2m_{\mathrm e})=52.1\,\mathrm{meV}$（第4部第1章）。縦の遷移は同じ $\bm{k}$ どうしなので、伝導帯の $k<k_{\mathrm F}$ が埋まっていると、$k\ge k_{\mathrm F}$ の遷移しか起きない。吸収端は$\hbar\omega_{\min}=E_{\mathrm g}+\frac{\hbar^2k_{\mathrm F}^2}{2m_{\mathrm r}}=E_{\mathrm g}+\frac{\hbar^2k_{\mathrm F}^2}{2m_{\mathrm e}}\Bigl(1+\frac{m_{\mathrm e}}{m_{\mathrm h}}\Bigr)=E_{\mathrm g}+\varepsilon _{\mathrm F}\Bigl(1+\frac{m_{\mathrm e}}{m_{\mathrm h}}\Bigr)$へ移る。ずれは $52.1\times1.14=59.4\,\mathrm{meV}$ で、吸収端は $1.559\,\mathrm{eV}$ になる。電子の分 $\varepsilon _{\mathrm F}$ に、同じ $k_{\mathrm F}$ で価電子帯の下がる分 $\varepsilon _{\mathrm F}m_{\mathrm e}/m_{\mathrm h}$ が加わる。ドープで吸収端が青い側へずれるこの現象を Burstein–Moss シフトと呼ぶ。電子どうしの交換と遮蔽でギャップ自体が縮む効果（ギャップのくりこみ）は、この1電子の計算には入っていない。

(4) $\omega_{\mathrm p}=\sqrt{n_{\mathrm e}e^2/(\varepsilon_0m_{\mathrm e})}$ で、プラズマ端は式 (4.6.16) の $\omega_{\mathrm p}/\sqrt{\varepsilon_{\mathrm b}}$。$\hbar\omega_{\mathrm p}/\sqrt{\varepsilon_{\mathrm b}}=40.5\,\mathrm{meV}$、真空の波長は $30.6\,\mathrm{\mu m}$ である。これより長い波長の赤外では $\varepsilon_1<0$ で結晶は金属のように光を反射し、短い波長では透明になる（ギャップの $1.5\,\mathrm{eV}$ より下の近赤外は通り、可視光は吸収する）。

(5) $n_{\mathrm e}^{-1/3}=10.0\,\mathrm{nm}$ で $a^*=10.3\,\mathrm{nm}$ とほぼ同じ（$n_{\mathrm e}^{1/3}a^*=1.03$）なので、1つの励起子の広がりの中に別の電子が平均1個入る。$D(\varepsilon _{\mathrm F})=3n_{\mathrm e}/(2\varepsilon _{\mathrm F})$ から $1/q_{\mathrm{TF}}=4.80\,\mathrm{nm}$ で、$q_{\mathrm{TF}}a^*=2.15$ は束縛の閾値 $1.19$ を超える（$q_{\mathrm{TF}}a^*=1.0$ では束縛状態があり $1.4$ では無いことを、動径の Schrödinger 方程式を数値で解いて確かめた）。したがってこのドープ量では、電子と正孔の引力は伝導電子に遮蔽されて束縛状態を作れず、励起子の線は消える。吸収端は (3) の Fermi 準位で決まる形になり、独立粒子の描像に近づく。ドープ量を下げていくと $q_{\mathrm{TF}}a^*$ が小さくなり、ある密度より下で励起子が復活する。これは4.6.5節で削った電子間の相互作用が、ドープ量で吸収のスペクトルの形を切り替える例である。