この章のまとめ

この章の道具

• 秘密の度合い：$D(\hat\rho_{AE}\,\|\,\frac1d\mathbf 1\otimes\hat\rho_E)=\ln d-S(A\,|\,E)=D(p_A\,\|\,u)+I(A;E)$。
• cq 状態：$I(A;E)=\sum_ap(a)D(\hat\rho_E^a\,\|\,\hat\rho_E)=\chi$。測定しても $I(A;Y)\le\chi$。
• 鍵率（Devetak–Winter）：$r\ge I(A;B)-I(A;E)=S(A\,|\,E)-H(A\,|\,B)$。
• Bell 対角：$e_z=\lambda_X+\lambda_Y$、$e_x=\lambda_Z+\lambda_Y$、$I(A_z;E)=H(\lambda)-h_{\mathrm b}(e_z)\le h_{\mathrm b}(e_x)$。
• BB84：$r\ge\ln2-h_{\mathrm b}(e_z)-h_{\mathrm b}(e_x)$、対称なら $Q<0.110$。6状態：$r_6=\ln2-H(\lambda)$、$Q<0.126$。
• 秘匿性増幅：$\ell\le H_{\min}(A\,|\,E)/\ln2-2\log_2(1/2\varepsilon )$、漸近で $\ell/n\to S(A\,|\,E)-H(A\,|\,B)$。

総合問題　Werner 状態での鍵配送と Bell の不等式 ★★★

オリジナルAlice と Bob の対の状態が Werner 状態 $\hat\rho_V=V| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |+(1-V)\frac{\mathbf 1}{4}$（$0\le V\le1$。第3部第5章と同じく、分布の $p$ と分けるため $V$ と書く。第3部第2・4・6章の $\hat\rho_p$ の $p$ と同じ量）で、Eve はその純粋化を持つとする。答えの情報量はビットで示せ。

1. (1) （使う道具：3.10.2節／第3部第7章 の Holevo 量）準備として、BB84 の4つの状態を Eve が基底を知らずに手に入れた場合を考える。ビット $a$ に対する Eve の状態は $\hat\rho_E^a=\frac12(| a \rangle \langle a |+| \pm_a \rangle \langle \pm_a |)$（$| \pm_0 \rangle =| + \rangle$、$| \pm_1 \rangle =| - \rangle$）である。$\chi(\{\frac12,\hat\rho_E^a\})$ を求めよ。
2. (2) （使う道具：3.10.3節）$\hat\rho_V$ が Bell 対角であることを示して $\lambda_P$ を求め、$e_z$、$e_x$ を $V$ で表せ。$V=0.9$ のとき $I(A_z;E)$ と上界 $h_{\mathrm b}(e_x)$ を求めよ。
3. (3) （使う道具：3.10.4節）$V=0.9$ で、BB84 の鍵率の下界 $\ln2-2h_{\mathrm b}(Q)$ と、$\lambda$ を知っているときの鍵率 $\ln2-H(\lambda)$ を求めよ。BB84 の鍵率が $0$ になる $V$ を求めよ。
4. (4) （使う道具：第3部第5章 の CHSH の不等式）$\hat\rho_V$ の CHSH の値の最大は $2\sqrt2\,V$ である。BB84 の鍵率が $0$ になる $V$ での CHSH の値を求めよ。CHSH の不等式が破れる誤り率の範囲と、BB84 で鍵が取れる誤り率の範囲を比べよ。
5. (5) （使う道具：3.10.5節／第1部第5章 のデータ圧縮）$V=0.9$ で $n=10^6$ ビットがふるい分けの後に残った。誤り訂正で公開する量と、$\varepsilon =10^{-10}$ での鍵の長さの粗い見積もり $n[1-2h_{\mathrm b}(Q)/\ln2]-2\log_2(1/\varepsilon )$ を求めよ。