相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第10章 §3.10.4 ★★★ Devetak–Winter と Eve の情報の上界を合わせて鍵率 ln 2 − h b ( e z ) − h b ( e x ) \ln2-h_{\mathrm b}(e_z)-h_{\mathrm b}(e_x) ln 2 − h b ( e z ) − h b ( e x ) 12.6 % 12.6\% 12.6%
BB84 の鍵率と 11% のしきい値
Devetak–Winter の定理（定理 3.10.4 ）に、I ( A z ; B z ) = ln 2 − h b ( e z ) I(A_z;B_z)=\ln2-h_{\mathrm b}(e_z) I ( A z ; B z ) = ln 2 − h b ( e z ) A z A_z A z 3.10.6 の上界を入れると、
r ≥ ln 2 − h b ( e z ) − h b ( e x ) (3.10.12) r\ge\ln2-h_{\mathrm b}(e_z)-h_{\mathrm b}(e_x)\tag{3.10.12} r ≥ ln 2 − h b ( e z ) − h b ( e x ) ( 3.10.12 )
を得る。2つの誤り率が等しい e z = e x = Q e_z=e_x=Q e z = e x = Q
r ≥ ln 2 − 2 h b ( Q ) (3.10.13) r\ge\ln2-2h_{\mathrm b}(Q)\tag{3.10.13} r ≥ ln 2 − 2 h b ( Q ) ( 3.10.13 )
で、ビットに直すと 1 − 2 h b ( Q ) / ln 2 1-2h_{\mathrm b}(Q)/\ln2 1 − 2 h b ( Q ) / ln 2 Q < Q ∗ Q<Q^* Q < Q ∗ h b ( Q ∗ ) = 1 2 ln 2 h_{\mathrm b}(Q^*)=\frac12\ln2 h b ( Q ∗ ) = 2 1 ln 2 Q ∗ = 0.1100 Q^*=0.1100 Q ∗ = 0.1100 11.0 % 11.0\% 11.0% 第3部第9章 ）による量子もつれの蒸留と同じ形に書き直して示した1 1 P. W. Shor and J. Preskill (2000), Phys. Rev. Lett. 85, 441. それ以前に D. Mayers (2001), J. ACM 48, 351 が別の方法で安全性を示していた。h b ( e z ) h_{\mathrm b}(e_z) h b ( e z ) h b ( e x ) h_{\mathrm b}(e_x) h b ( e x ) (3.10.12) では、同じ2つの項が「誤り訂正で公開する分」と「Eve の情報量の上界」として出ている。
記憶つきの不確定性関係による一般の証明
定理 3.10.6 は Bell 対角の状態を仮定した。一般の状態で同じ上界を示すには、次の不確定性関係を使う。
定理 3.10.7（記憶つきの不確定性関係（Berta ほか） ★★★）
量子ビット A A A B B B E E E ρ ^ A B E \hat\rho_{ABE} ρ ^ A B E A A A Z Z Z A z A_z A z X X X A x A_x A x
S ( A z ∣ E ) + S ( A x ∣ B ) ≥ ln 2 (3.10.14) S(A_z\,|\,E)+S(A_x\,|\,B)\ge\ln2\tag{3.10.14} S ( A z ∣ E ) + S ( A x ∣ B ) ≥ ln 2 ( 3.10.14 )
が成り立つ。
これは M. Berta、M. Christandl、R. Colbeck、J. M. Renes、R. Renner が示した2 2 M. Berta, M. Christandl, R. Colbeck, J. M. Renes and R. Renner (2010), Nature Phys. 6, 659. 記憶 B , E B,E B , E H ( A z ) + H ( A x ) ≥ ln 2 H(A_z)+H(A_x)\ge\ln2 H ( A z ) + H ( A x ) ≥ ln 2 ln 2 \ln2 ln 2 c = max ∣ ⟨ z ∣ x ⟩ ∣ 2 = 1 2 c=\max\lvert \langle z | x \rangle \rvert ^2=\frac12 c = max ∣⟨ z ∣ x ⟩ ∣ 2 = 2 1 ln ( 1 / c ) \ln(1/c) ln ( 1/ c ) E E E Z Z Z B B B X X X
式 (3.10.14) から鍵率を出す。条件付きエントロピーは S ( A ∣ B ) = − D ( ρ ^ A B ∥ 1 A ⊗ ρ ^ B ) S(A\,|\,B)=-D(\hat\rho_{AB}\,\|\,\mathbf 1_A\otimes\hat\rho_B) S ( A ∣ B ) = − D ( ρ ^ A B ∥ 1 A ⊗ ρ ^ B ) B B B X X X S ( A x ∣ B ) ≤ H ( A x ∣ B x ) S(A_x\,|\,B)\le H(A_x\,|\,B_x) S ( A x ∣ B ) ≤ H ( A x ∣ B x ) H ( A x ∣ B x ) ≤ h b ( e x ) H(A_x\,|\,B_x)\le h_{\mathrm b}(e_x) H ( A x ∣ B x ) ≤ h b ( e x ) e x = Pr ( A x ≠ B x ) e_x=\Pr(A_x\ne B_x) e x = Pr ( A x = B x ) (3.10.14) に入れると
S ( A z ∣ E ) ≥ ln 2 − S ( A x ∣ B ) ≥ ln 2 − h b ( e x ) , S(A_z\,|\,E)\ge\ln2-S(A_x\,|\,B)\ge\ln2-h_{\mathrm b}(e_x), S ( A z ∣ E ) ≥ ln 2 − S ( A x ∣ B ) ≥ ln 2 − h b ( e x ) ,
を得る。Devetak–Winter の形 r ≥ S ( A z ∣ E ) − H ( A z ∣ B z ) r\ge S(A_z\,|\,E)-H(A_z\,|\,B_z) r ≥ S ( A z ∣ E ) − H ( A z ∣ B z ) H ( A z ∣ B z ) ≤ h b ( e z ) H(A_z\,|\,B_z)\le h_{\mathrm b}(e_z) H ( A z ∣ B z ) ≤ h b ( e z ) (3.10.12) が Bell 対角の仮定なしに出る。この導き方では、定理の証明に使った性質は相対エントロピーの単調性（データ処理不等式）と不確定性関係だけである。
6状態の手順
BB84 は Z Z Z X X X e y e_y e y Y Y Y Y Y Y 3 3 D. Bruß (1998), Phys. Rev. Lett. 81, 3018.e y = λ X + λ Z e_y=\lambda_X+\lambda_Z e y = λ X + λ Z ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩ Y ⊗ Y Y\otimes Y Y ⊗ Y − 1 -1 − 1 Y Y Y Y Y Y X X X Z Z Z (3.10.10) と合わせると
λ X = 1 2 ( e z + e y − e x ) , λ Y = 1 2 ( e z + e x − e y ) , λ Z = 1 2 ( e x + e y − e z ) , λ 1 = 1 − 1 2 ( e x + e y + e z ) \lambda_X=\tfrac12(e_z+e_y-e_x),\quad \lambda_Y=\tfrac12(e_z+e_x-e_y),\quad \lambda_Z=\tfrac12(e_x+e_y-e_z),\quad \lambda_{\mathbf 1}=1-\tfrac12(e_x+e_y+e_z) λ X = 2 1 ( e z + e y − e x ) , λ Y = 2 1 ( e z + e x − e y ) , λ Z = 2 1 ( e x + e y − e z ) , λ 1 = 1 − 2 1 ( e x + e y + e z )
となり、Bell 対角な状態なら λ \lambda λ 3.10.6 の等式が使えて、鍵率は
r 6 = ln 2 − h b ( e z ) − [ H ( λ ) − h b ( e z ) ] = ln 2 − H ( λ ) (3.10.15) r_6=\ln2-h_{\mathrm b}(e_z)-[H(\lambda)-h_{\mathrm b}(e_z)]=\ln2-H(\lambda)\tag{3.10.15} r 6 = ln 2 − h b ( e z ) − [ H ( λ ) − h b ( e z )] = ln 2 − H ( λ ) ( 3.10.15 )
になる。雑音が基底によらず e x = e y = e z = Q e_x=e_y=e_z=Q e x = e y = e z = Q λ = ( 1 − 3 2 Q , Q 2 , Q 2 , Q 2 ) \lambda=(1-\frac32Q,\frac Q2,\frac Q2,\frac Q2) λ = ( 1 − 2 3 Q , 2 Q , 2 Q , 2 Q ) r 6 > 0 r_6>0 r 6 > 0 Q < 0.1262 Q<0.1262 Q < 0.1262 e y e_y e y e z e_z e z e x e_x e x λ \lambda λ H ( λ ) H(\lambda) H ( λ ) F F F G G G 3.10.3 に2つの鍵率を示す。
図 3.10.3 ふるい分けで残った1ビットあたりの鍵率。BB84 の 1 − 2 h b ( Q ) / ln 2 1-2h_{\mathrm b}(Q)/\ln2 1 − 2 h b ( Q ) / ln 2 1 − H ( λ ) / ln 2 1-H(\lambda)/\ln2 1 − H ( λ ) / ln 2 λ = ( 1 − 3 2 Q , Q 2 , Q 2 , Q 2 ) \lambda=(1-\frac32Q,\frac Q2,\frac Q2,\frac Q2) λ = ( 1 − 2 3 Q , 2 Q , 2 Q , 2 Q ) 0.110 0.110 0.110 0.126 0.126 0.126
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの 1 / n → 0 1/n\to0 1/ n → 0 n n n 証明 条件付き（装置が理想どおり〔1個の量子ビット・仕様どおりの検出器〕。Eve の攻撃は任意で、写しごとに独立でない攻撃も量子 de Finetti 定理で独立な場合に帰着する：R. Renner (2007), Nature Phys. 3, 645。有限の n n n 行き先 近似の数理 第6章
例題 3.10.4 送った量子ビットあたりの鍵率 ★★
オリジナル 雑音が基底によらない通信路で、誤り率が Q = 0.05 Q=0.05 Q = 0.05
ふるい分けで残った1ビットあたりの鍵率を、BB84 と6状態の手順についてビットで求めよ。
ふるい分けで残る割合を掛け、送った量子ビット1個あたりの鍵率を比べよ。
BB84 で鍵率が 0.5 0.5 0.5
解答 (1) BB84 は 1 − 2 h b ( 0.05 ) / ln 2 = 1 − 2 × 0.2864 = 0.4272 1-2h_{\mathrm b}(0.05)/\ln2=1-2\times0.2864=0.4272 1 − 2 h b ( 0.05 ) / ln 2 = 1 − 2 × 0.2864 = 0.4272 λ = ( 0.925 , 0.025 , 0.025 , 0.025 ) \lambda=(0.925,0.025,0.025,0.025) λ = ( 0.925 , 0.025 , 0.025 , 0.025 ) H ( λ ) / ln 2 = 0.5032 H(\lambda)/\ln2=0.5032 H ( λ ) / ln 2 = 0.5032 r 6 = 0.4968 r_6=0.4968 r 6 = 0.4968
(2) 基底が一致する確率は BB84 で 1 / 2 1/2 1/2 1 / 3 1/3 1/3 0.4272 / 2 = 0.2136 0.4272/2=0.2136 0.4272/2 = 0.2136 0.4968 / 3 = 0.1656 0.4968/3=0.1656 0.4968/3 = 0.1656
(3) h b ( Q ) / ln 2 = 0.25 h_{\mathrm b}(Q)/\ln2=0.25 h b ( Q ) / ln 2 = 0.25 Q = 0.0417 Q=0.0417 Q = 0.0417
1 P. W. Shor and J. Preskill (2000), Phys. Rev. Lett. 85, 441. それ以前に D. Mayers (2001), J. ACM 48, 351 が別の方法で安全性を示していた。
2 M. Berta, M. Christandl, R. Colbeck, J. M. Renes and R. Renner (2010), Nature Phys. 6, 659. 記憶 B , E B,E B , E H ( A z ) + H ( A x ) ≥ ln 2 H(A_z)+H(A_x)\ge\ln2 H ( A z ) + H ( A x ) ≥ ln 2
3 D. Bruß (1998), Phys. Rev. Lett. 81, 3018.
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