出てくるもの（2）：島はどこにできるか

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第7部 第7章 §7.7.4　★★ 2次元の重力のブラックホールに浴をつないだ模型で一般化エントロピーを極値にすると、島の端は地平面のわずかに外に出て、その張り出しがスクランブリング時間になる

この節の模型の計算では $\hbar=1$、光速 $=1$、$k_{\mathrm B}=1$ とし、AdS の曲率半径を 1 とする。場の中心電荷は $c_{\mathrm M}$ と書く。

模型：JT 重力のブラックホールと浴

2次元の時空では面積が無いので、その役をdilaton と呼ぶスカラー場 $\phi$ が担う。Jackiw–Teitelboim（JT）重力では、負の一定曲率（曲率半径 1 の AdS$_2$）の2次元の計量と dilaton の組を考え、一般化エントロピーの面積の項は点 $p$ での $(\phi_0+\phi(p))/(4G)$ になる（$\phi_0$ は定数、$G$ は2次元の無次元の重力定数）。4次元の近極限ブラックホールの地平面付近を球面の向きに平均すると、球面の面積が $\phi_0+\phi$ に当たる。

温度 $1/\beta$ のブラックホールの外の領域は、地平面の外側を $y<0$（$y\to-\infty$ が地平面、$y\to0^-$ が境界）とする亀の座標で

$$\mathrm{d} s^2=\frac{(2\pi/\beta)^2}{\sinh^2(2\pi y/\beta)}\bigl(\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} y^2\bigr),\qquad \phi(y)=\phi_{\mathrm r}\frac{2\pi}{\beta}\coth\frac{2\pi\lvert y\rvert }{\beta}\tag{7.7.16}$$

と書ける（$\phi_{\mathrm r}$ は境界で dilaton の大きさを決める定数。(+,−) の流儀）。これは AdS$_2$ のブラックホール $\mathrm{d} s^2=(r^2-r_{\mathrm h}^2)\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} r^2/(r^2-r_{\mathrm h}^2)$、$\phi=\phi_{\mathrm r}r$ で $r=-r_{\mathrm h}\coth(r_{\mathrm h}y)$、$r_{\mathrm h}=2\pi/\beta$ とおいたものである（$\mathrm{d} r/\mathrm{d} y=r^2-r_{\mathrm h}^2$）。地平面では $\coth\to1$ なので、ブラックホールのエントロピーは

$$S_{\mathrm{BH}}=\frac{\phi_0}{4G}+\Delta S,\qquad \Delta S=\frac{2\pi\phi_{\mathrm r}}{4G\beta}\tag{7.7.17}$$

である。境界 $y=0$ の外に、重力のない平らな浴（$y>0$、$\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} t^2-\mathrm{d} y^2$）を両側につなぐ。重力のある領域と浴の中を中心電荷 $c_{\mathrm M}$ の共形場理論が満たし、全体は温度 $1/\beta$ の熱場二重状態（Hartle–Hawking 状態）にあるとする。ブラックホールの放射と浴からの流入がつり合うので、ブラックホールは蒸発しない永遠のブラックホールのまま、浴への放射とそのもつれだけが時間とともに増える。この模型は A. Almheiri・R. Mahajan・J. Maldacena¹1A. Almheiri, R. Mahajan, J. Maldacena (2019), arXiv:1910.11077。下の脚注へ閉じるが調べたもので、ここでは計算の筋を自分で追う。

放射 $R$ を、両側の浴の $y\ge b$ の部分（両側の2本の半直線）とし、時刻 $t$ を両側で同じ向きに進める。

島なし：放射のエントロピーは時間に比例して増える

島なしでは、$R$ の場のエントロピーは、2つの端（左右の $y=b$）を結ぶ区間の補集合のエントロピーで、全体が純粋なので区間そのもののエントロピーに等しい。2次元の共形場理論の区間のエントロピーは端点の距離 $\ell$ を使って $\frac{c_{\mathrm M}}6\ln(\ell^2/\epsilon^2)$（$\epsilon$ は切断）で与えられる（P. Calabrese と J. Cardy²2P. Calabrese, J. Cardy (2004), Journal of Statistical Mechanics P06002。下の脚注へ閉じる。第5部第1章の $\frac c3\ln L$ と同じもの）。熱場二重状態は Kruskal 座標 $U=\mp\mathrm{e}^{-2\pi(t-y)/\beta}$、$V=\pm\mathrm{e}^{2\pi(t+y)/\beta}$ の真空なので、この座標で距離を測り、計量の共形因子で平らな座標へ戻すと、左右の端の距離の2乗は$\Delta U\,\Delta V/\sqrt{\lvert U_1V_1\rvert \lvert U_2V_2\rvert }\times(\beta/2\pi)^2=(\beta/\pi)^2\cosh^2(2\pi t/\beta)$ になり、$b$ によらない。したがって

$$S_{\text{島なし}}(t)=\frac{c_{\mathrm M}}3\ln\Bigl[\frac{\beta}{\pi\epsilon}\cosh\frac{2\pi t}{\beta}\Bigr]\ \xrightarrow{\ t\gg\beta\ }\ \frac{2\pi c_{\mathrm M}}{3\beta}\,t\tag{7.7.18}$$

で、遅い時刻では時間に比例して増え続ける。単位時間あたりの増え方 $2\pi c_{\mathrm M}/(3\beta)$ は、1+1 次元の熱的な流れのエントロピーの流れ $\pi c_{\mathrm M}/(6\beta)\times2$（両側）の2倍である。外へ出る Hawking 放射と、浴からブラックホールへ流れ込む放射の両方が、境界をまたぐもつれを同じ速さで増やすためである。永遠のブラックホールのエントロピーは一定の $S_{\mathrm{BH}}$ なので、$S(R)\le S(B)\le2S_{\mathrm{BH}}+\text{（浴の内側の区間の分）}$ という上限をいずれ破る。これが永遠のブラックホールの版の情報のパラドックスである。

島あり：島の端の位置

島として、両側の重力のある領域の $y=-a$（$a>0$）を端に持ち、内部を通って左右をつなぐ区間を取る。遅い時刻 $t\gg\beta$ では、左右の端の組が遠く離れるので、4つの端点の場のエントロピーは「左の島の端と左の浴の端」「右の島の端と右の浴の端」の2組の和に分かれる（端点の組が近いもの同士でまとまる極限。片側ずつ計算できる）。片側の島の端 $(t_a,-a)$ と浴の端 $(t,b)$ の組は、熱的な状態の同じ側の2点なので、その場のエントロピーは

$$\frac{c_{\mathrm M}}6\ln\Bigl[\Bigl(\frac\beta\pi\Bigr)^2\Bigl(\sinh^2\frac{\pi(a+b)}\beta-\sinh^2\frac{\pi(t_a-t)}\beta\Bigr)\frac{\Omega(a)}{\epsilon^2}\Bigr],\qquad \Omega(a)=\frac{2\pi/\beta}{\sinh(2\pi a/\beta)}$$

になる。$\Omega(a)$ は計量 (7.7.16) の共形因子で、重力のある側の端の切断を固有の長さで $\epsilon$ にそろえるために入る。

まず時刻の向きの極値を取る。dilaton は $t_a$ によらず、場の項の対数の中身は $t_a=t$ で最大になる（$\sinh^2$ を引く項が 0）。極値は時間の向きの最大で、量子極値曲面の典型どおりである。$t_a=t$ とおくと、両側を合わせた一般化エントロピーは

$$S_{\mathrm{gen}}(a)=2\Bigl[\frac{\phi_0}{4G}+\Delta S\coth\frac{2\pi a}\beta+\frac{c_{\mathrm M}}6\ln\frac{\sinh^2(\pi(a+b)/\beta)}{\sinh(2\pi a/\beta)}\Bigr]+\text{（}{a}\text{ によらない定数）}\tag{7.7.19}$$

で、時刻 $t$ によらない。次に $a$ で微分して 0 とおくと

$$\frac{\Delta S}{\sinh^2(2\pi a/\beta)}=\frac{c_{\mathrm M}}6\Bigl[\coth\frac{\pi(a+b)}\beta-\coth\frac{2\pi a}\beta\Bigr].\tag{7.7.20}$$

$a,b\gg\beta$ では $\coth x\approx1+2\mathrm{e}^{-2x}$、$1/\sinh^2x\approx4\mathrm{e}^{-2x}$ を使って両辺を $\mathrm{e}^{-4\pi a/\beta}$ で割ると、$12\Delta S/c_{\mathrm M}=\mathrm{e}^{2\pi(a-b)/\beta}-1$、すなわち

$$a-b=\frac{\beta}{2\pi}\ln\Bigl(1+\frac{12\,\Delta S}{c_{\mathrm M}}\Bigr)\approx\frac{\beta}{2\pi}\ln\frac{\Delta S}{c_{\mathrm M}}\tag{7.7.21}$$

を得る。$a$ は有限なので、島の端は地平面（$y\to-\infty$）の外にある。そこでの値は、$\coth(2\pi a/\beta)-1\approx2\mathrm{e}^{-4\pi a/\beta}$ が小さいので

$$S_{\text{島あり}}\approx2S_{\mathrm{BH}}+\mathcal{O}\Bigl(c_{\mathrm M}\ln\frac{\Delta S}{c_{\mathrm M}}\Bigr)\tag{7.7.22}$$

で、時間によらない一定値になる。両側のブラックホールがあるので $2S_{\mathrm{BH}}$ である。

Page 時間とスクランブリング時間

島なし (7.7.18) は時間に比例して増え、島あり (7.7.22) は一定なので、両者が交わる Page 時間は、$\mathcal{O}(c_{\mathrm M})$ の定数を落として

$$t_{\mathrm P}\approx\frac{3\beta}{2\pi c_{\mathrm M}}\cdot2S_{\mathrm{BH}}=\frac{3\beta S_{\mathrm{BH}}}{\pi c_{\mathrm M}}\tag{7.7.23}$$

である。その後は $S(R)$ が $2S_{\mathrm{BH}}$ で止まる（図 7.7.3）。

島の端の張り出し (7.7.21) にも意味がある。時刻 $t_0$ に境界 $y=0$ から内向きの光で落とした日記は、時刻 $t$ に $y=-(t-t_0)$ にある。これが島の中（$y<-a$）に入るのは $t-t_0>a=b+\frac{\beta}{2\pi}\ln(\Delta S/c_{\mathrm M})$ のときである。$b$ は境界から放射を集める位置 $y=b$ までの光の伝わる時間なので、日記は「放射を集める位置までの光の伝わる時間」に、さらに

$$t_*\approx\frac{\beta}{2\pi}\ln\frac{\Delta S}{c_{\mathrm M}}\tag{7.7.24}$$

だけ遅れて放射のエンタングルメント・ウェッジに入り、JLMS の関係 (7.7.15) によって放射から読み出せるようになる。この遅れは、第7部第4章（第7部第4章）のHayden–Preskill の思考実験のスクランブリング時間（第7部第4章の式 (7.4.20)・(7.4.22)）と同じ形である。Page 時間の後のブラックホールは落とした情報を $t_*$ ののちに放射へ返す、という量子情報の側の結論が、一般化エントロピーの極値の位置として幾何の言葉で表されている。

1　A. Almheiri, R. Mahajan, J. Maldacena (2019), arXiv:1910.11077。

2　P. Calabrese, J. Cardy (2004), Journal of Statistical Mechanics P06002。