この章のまとめ

(1) $n=2\cdot4^2=32$、独立な生成元は $2\cdot16-2=30$ 個で $k=2$、論理演算子の最短は長さ4の輪なので $d=4$。$[[32,2,4]]$ 符号である。任意の誤りは $t=\lfloor(d-1)/2\rfloor=1$ 個まで、位置の分かった消失は $d-1=3$ 個まで訂正することができる。

(2) $A$ はトーラスを一周する輪を含まない（正方形の中に収まる）ので、5.2.2節の議論により定理 5.2.1 の条件が成り立ち、$I(R;A)=0$。辺の数は12本で $d-1=3$ を大きく超えるが、位置の分かった消失として訂正することができる。距離による保証は「どの3本でも」だが、トーリック符号では「一周しない形ならどんなに多くても」直すことができる。全体は純粋状態なので $I(R;A)+I(R;B)=2S(R)=4\ln2$（第3部第9章）、よって $I(R;B)=4\ln2$。論理情報はすべて $B$ にある。

(3) $\lvert A\rvert =12$。$A$ に収まる生成元は面 $4$ 個と中央の頂点の星 $1$ 個で、$S(\hat\rho_A)=(12-5)\ln2=7\ln2$。周の上の頂点は $\lvert \partial A\rvert =4(3-1)=8$ 個なので、$S=8\ln2-\ln2$：面積則の項 $\lvert \partial A\rvert \ln2=8\ln2$ と $-\gamma=-\ln2$ に分かれる。

(4) $L=4$ の1行の4本の当て方は24通りで、$\sum_\pi\prod_j\Delta E_j^{-1}=5/(16J^3)$（5.2.5節）。行は4本あるので

$$2c=2\cdot4\lambda^4\cdot\frac{5}{16J^3}=\frac{5}{2}\frac{\lambda^4}{J^3}=2.5\times(0.05)^4J=1.5625\times10^{-5}J .$$

厳密な値 $1.606\times10^{-5}J$ との比は $1.028$ で、ずれは $\lambda^2$ の大きさの補正である。同じ $\lambda$ で $L=3$ の分裂は $2.85\times10^{-4}J$（最低次 $2.81\times10^{-4}J$）なので、$L$ を1増やして分裂は約 $1/18$ になった。

(5) $h(0,0)$ は頂点 $(0,0)$–$(1,0)$、$h(1,0)$ は $(1,0)$–$(2,0)$ を結ぶので、$\mathsf e$ は $(0,0)$ と $(2,0)$ に現れる（$(1,0)$ には2本集まって消える）。この2点を結ぶ最短の弦は長さ2で、左回りの $\{h(0,0),h(1,0)\}$ と右回りの $\{h(2,0),h(3,0)\}$ の2つがある。どちらもシンドロームは同じである。左回りを選べば誤りと訂正の積は恒等で成功するが、右回りを選べば積は行全体の $Z$ の積 $\bar Z_1$ になり、論理誤りが残る。端点だけからは2つを区別することができない。重み2の誤りは $t=1$ を超えているので、(1) の保証の外にある。$d=4$ が偶数なので、重み2の誤りは見つけられても直せるとは限らない。