出てくるもの3：局所的な摂動では縮退がほとんど解けない

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第5部 第2章 §5.2.5　★★★ 局所的な摂動が基底状態の縮退を解くには摂動の $L$ 次まで待たねばならず、分裂は $L$ について指数的に小さい。符号の距離がそのまま縮退の安定性になる

摂動の何次で縮退が解けるか

現実の物質の Hamiltonian は $\hat H_0$ そのものではなく、局所的な項 $\hat V$ がずれとして加わる。例として、すべての辺に縦の磁場をかけた

$$\hat H=\hat H_0+\hat V,\qquad\hat V=-\lambda\sum_eZ_e\tag{5.2.15}$$

を考える。$\lambda$ が小さいとき、4つの基底状態はどれだけ分裂するか。

縮退した準位の摂動論（第3部第9章と同じく基底状態の空間 $\mathcal C$ に射影 $\hat P$ を取る）では、$\mathcal C$ の中で働く有効 Hamiltonian の $m$ 次の項は$\hat P\hat V\hat R\hat V\hat R\cdots\hat V\hat P$（$\hat V$ が $m$ 個、$\hat R=\hat Q(E_0-\hat H_0)^{-1}$、$\hat Q=\mathbf 1-\hat P$）の形をしている。この項が4つの基底状態の縮退を解くには、$\hat V$ の $m$ 個の因子の積が $\mathcal C$ の中で恒等の定数倍でない演算子、すなわち論理演算子を含まねばならない。定理 5.2.1 により、$L$ 本未満の辺に台を持つ演算子はどれも $\hat P(\cdot)\hat P$ が定数倍になるので、$m<L$ の項はすべての基底状態のエネルギーを同じだけずらすだけである。論理演算子 $\bar Z_1$ は長さ $L$ の輪なので、縮退が初めて解けるのは $m=L$ 次である。

$m=L$ 次の項を具体的に求める。横の1行の $L$ 本の辺に1本ずつ $Z$ を当てていく。$L$ 本の当て方の順番 $\pi$（$L!$ 通り）ごとに、途中の $L-1$ 個の中間状態はどれも基底状態の空間の外にあり、そのエネルギーは $\mathsf e$ の数 $\times\,2J$ だけ高い。$\hat V$ の因子は $-\lambda$、$\hat R$ の因子は $-1/\Delta E_j$ なので、1つの順番の寄与は $(-\lambda)^L(-1)^{L-1}\prod_j\Delta E_j^{-1}=-\lambda^L\prod_j\Delta E_j^{-1}$ である。基底状態の上ではどの行の輪も $\bar Z_1$ として働く（2つの行の輪の積は間の面の $B_p$ の積で、固有値 $+1$ を持つ）ので、$L$ 行の寄与を合わせて、有効 Hamiltonian は

$$\hat H_{\mathrm{eff}}=E_0'-c\,(\bar Z_1+\bar Z_2)+\cdots,\qquad c=L\lambda^L\sum_\pi\prod_{j=1}^{L-1}\frac{1}{\Delta E_j(\pi)}\tag{5.2.16}$$

となる（$E_0'$ は4つに共通のずれ、$\bar Z_2$ の係数は対称性から同じ）。$\bar Z_1=\bar Z_2=+1$ の状態が最も低く、片方が $-1$ の2つの状態はそれより $2c$ 上にある。

$L=3$ では、3本の輪のどの2本も隣り合っているので、1本目の後も2本目の後も $\mathsf e$ は2個で、$\Delta E_1=\Delta E_2=4J$。6通りの順番の寄与はどれも $1/(16J^2)$ で、和は $3/(8J^2)$ である。$L=4$ では、2本目が1本目と隣り合わないと $\mathsf e$ が4個になって $\Delta E=8J$ となり、和は $5/(16J^3)$ になる。$L=3$ から $6$ まで数えると、和は $\binom{2L-2}{L-1}/(4J)^{L-1}$ に一致する（scripts/verify_ch5-02.py）。いずれにせよ $c\propto(\lambda/J)^L$ で、分裂は系の大きさについて指数的に小さい。

厳密な分裂との比較

この摂動はちょうど解ける形に書き換えられる。$Z_e$ はすべての $B_p$ と $\bar Z_1,\bar Z_2$ と交換するので、$B_p=+1$ と $(\bar Z_1,\bar Z_2)$ の値を固定した部分空間ごとに $\hat H$ を対角化することができる。その部分空間は、頂点に置いた Ising スピン $\tau_v$ の構成で張られ、$A_v$ が $\tau_v$ の反転（$\tau^x_v$）、$Z_e$ が辺の両端の $\tau^z_v\tau^z_{v'}$ に対応する。$\hat H$ は横磁場 Ising 模型$-J\sum_v\tau^x_v-\lambda\sum_{\langle vv'\rangle}\tau^z_v\tau^z_{v'}$ に一致し、$\bar Z_1=-1$ の区画は1列だけ結合の符号を反転させた（反周期的な境界条件の）模型になる¹1この対応は S. Trebst, P. Werner, M. Troyer, K. Shtengel and C. Nayak (2007), Phys. Rev. Lett. 98, 070602 が使った。下の脚注へ閉じる。$L=3$ では18量子ビットの $\hat H$ を直接に対角化した最低の4準位とこの書き換えの結果が一致することを確かめ、$L=4$ は書き換えた $2^{16}$ 次元の模型で計算した（図 5.2.4）。

図 5.2.4　縦磁場 $\lambda$ による基底状態の分裂 $\Delta E$（$\bar Z_1=-1$ の区画と $+1$ の区画の最低エネルギーの差）。点線と印は厳密な対角化、実線は最低次の摂動 $2c$（$L=3$ で $2.25\lambda^3/J^2$、$L=4$ で $2.5\lambda^4/J^3$）。$\lambda\to0$ で両者は一致し、$\lambda$ を固定すると $L$ が1増えるごとに分裂はほぼ $\lambda/J$ 倍になる。

$\lambda/J=0.1$ では、$L=3$ の分裂は最低次で $2.25\times10^{-3}J$、厳密に $2.395\times10^{-3}J$、$L=4$ では厳密に $2.80\times10^{-4}J$ と、1桁ずつ下がる。一方、励起（$\mathsf e$ の対）までのエネルギーの隙間は $4J$ 程度のまま開いている。$\lambda$ を大きくしていくと、対応する横磁場 Ising 模型が強磁性に転移する所で隙間が閉じ、トーリック符号の相は終わる。正方格子の横磁場 Ising 模型の転移点は横磁場と結合の比で $3.04438$ と求められていて²2H. W. J. Blöte and Y. Deng (2002), Phys. Rev. E 66, 066110。下の脚注へ閉じる、ここでは $\lambda/J=1/3.04438\approx0.328$ にあたる。

Bravyi–Hastings–Michalakis の定理は、ここで $Z$ の磁場について数えたことを、任意の局所的な摂動について保証する。条件は定義 5.2.2 の位相秩序で、対称性は何も仮定しない。磁場の向きを $X$ や $Y$ に変えても、隣り合う辺の積を加えても、論理演算子が長さ $L$ の輪である限り、縮退を解くのは $L$ 次の過程だけである。