この章のまとめ

(1) $\mathrm{e}^{7t}-1\le0.07(N-1)$ を解いて $t_*(N)=\frac17\ln\bigl(1+0.07(N-1)\bigr)$。

(2) $N=10^4$ で $\frac17\ln(700.93)\approx0.936$、$N=10^8$ で $\frac17\ln(7.0\times10^6)\approx2.25$。

(3) 誤差の源は $1/N$ だが、それを時間方向に増やす係数が $\mathrm{e}^{7t}$ なので、許容誤差を固定すると $t_*\approx\frac17\ln N$ となる。$N$ を1万倍にしても $t_*$ は $\frac17\ln10^4\approx1.3$ だけ伸びる。これは第6.2節の注意「$t\sim\log N$ の時間で破綻しうる」と同じ構造で、Grönwall の不等式で得る評価はどれも最悪の指数増大を仮定している。数値の2モード模型では $N\alpha_N(2)\approx0.1$ で、実際の誤差は評価よりはるかに小さい（検算スクリプト）。

(1) 一体の項は各粒子で $-J\cdot2\cos\theta\sin\theta=-J\sin2\theta$。対 $(i,j)$ が同じモードにいる確率は $\cos^4\theta+\sin^4\theta=1-\frac12\sin^22\theta$ で、対は $N(N-1)/2$ 個、係数は $U/(N-1)$ なので、相互作用は1粒子あたり $\frac U2(1-\frac12\sin^22\theta)$。$s=\sin2\theta$ とおくと

$$e_{\mathrm H}(\theta)=-Js+\frac U2-\frac U4s^2.$$

$e_{\mathrm H}$ は $s$ の上に凸な2次関数なので、$s\in[-1,1]$ での最小値は端点 $s=\pm1$ のどちらかでとり、$e(1)=-J+U/4<e(-1)=J+U/4$。よって最小化元は $\theta=\pi/4$（$\varphi_{\mathrm H}=(1,1)/\sqrt2$、2つのモードに均等）で、$e_{\mathrm H}=-J+U/4$。$J=U=1$ では $-0.75$。

(2) ボソンの対称な状態は各モードの粒子数で決まるので、基底 $| n_a,N-n_a \rangle$（$n_a=0,\dots,N$）の $N+1$ 次元で足りる。$\sum_{i<j}W_{ij}$ は同じモードにいる対を数えるので対角で $\frac{n_a(n_a-1)+n_b(n_b-1)}2$、跳び移りの項は$\langle n_a+1,n_b-1 |\sum_j(| a \rangle \langle b |)_j| n_a,n_b \rangle =\sqrt{(n_a+1)n_b}$ を与える。よって

$$\begin{gathered}\langle n_a,n_b |H_N| n_a,n_b \rangle =\frac U{N-1}\cdot\frac{n_a(n_a-1)+n_b(n_b-1)}2,\\ \langle n_a+1,n_b-1 |H_N| n_a,n_b \rangle =-J\sqrt{(n_a+1)n_b}.\end{gathered}$$

積状態 $\varphi_{\mathrm H}^{\otimes N}$ は対称部分空間の1つのベクトルなので、min-max 原理（最低固有値は Rayleigh 商の最小値）から $E_N\le\langle \varphi_{\mathrm H}^{\otimes N},\,H_N\varphi_{\mathrm H}^{\otimes N}\rangle =Ne_{\mathrm H}$。Rayleigh–Ritz 法で見ると、部分空間を「積状態」という $1$ パラメータの多様体に狭めたのが Hartree 近似であり、部分空間を $N+1$ 次元の対称部分空間全体にとれば近似は厳密になる。この模型で厳密解が計算できるのは、空間全体が $N$ の1次でしか大きくならないからである。

(3) $N=2$ では $U/(N-1)=U$。対称部分空間の基底 $| 2,0 \rangle ,| 1,1 \rangle ,| 0,2 \rangle$ で

$$H_2=\begin{pmatrix}U&-\sqrt2J&0\\-\sqrt2J&0&-\sqrt2J\\0&-\sqrt2J&U\end{pmatrix}.$$

$a\leftrightarrow b$ の入れ替えで対称な組 $\frac{| 2,0 \rangle +| 0,2 \rangle }{\sqrt2},| 1,1 \rangle$ に制限すると $\begin{pmatrix}U&-2J\\-2J&0\end{pmatrix}$ で、最低固有値は $E_2=\frac{U-\sqrt{U^2+16J^2}}2$。$J=U=1$ で $E_2=\frac{1-\sqrt{17}}2\approx-1.5616$、$E_2/2-e_{\mathrm H}\approx-0.7808+0.75=-0.0308$ で、範囲 $[-0.5,0]$ に入る（反対称な組の固有値は $U=1$ で、これより高い）。

(4) 固有ベクトルを $u\frac{| 2,0 \rangle +| 0,2 \rangle }{\sqrt2}+v| 1,1 \rangle$ とすると、固有方程式の第1行 $Uu-2Jv=E_2u$ から $v=\frac{U-E_2}{2J}u$。$J=U=1$ では$v/u=1.2808$、規格化して $u\approx0.6154$、$v\approx0.7882$。対称性から $\gamma^{(1)}=\begin{pmatrix}\frac12&c\\c&\frac12\end{pmatrix}$ の形で、$c=\frac1N\langle \psi |\sum_j(| a \rangle \langle b |)_j| \psi \rangle$ を計算すると、$| 1,1 \rangle \to\sqrt2| 2,0 \rangle$ と $| 0,2 \rangle \to\sqrt2| 1,1 \rangle$ の2つの寄与から$c=\frac12\cdot2uv=uv\approx0.4851$。$p=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ なので

$$\begin{gathered}\alpha=\operatorname{Tr}(q\gamma^{(1)})=1-\langle \varphi_{\mathrm H},\,\gamma^{(1)}\varphi_{\mathrm H}\rangle =\frac12-c\approx0.0149,\\ \gamma^{(1)}-p=\Bigl(c-\frac12\Bigr)\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad \lVert \gamma^{(1)}-p\rVert _1=1-2c\approx0.0299.\end{gathered}$$

$\lVert \gamma^{(1)}-p\rVert _1=2\alpha$ で、補題の範囲 $[\alpha,\,2\alpha+2\sqrt\alpha]=[0.0149,\,0.274]$ の下の端に近い。$\gamma^{(1)}$ と $p$ が同じ固有ベクトル $(1,\pm1)/\sqrt2$ を持ち、凝縮と外れた成分の干渉項が無いので、例題 6.5 の混合状態の場合に当たる。$N=2$ でも凝縮から外れた割合は 1.5% と小さく、相互作用が $J$ と同程度でも積状態がよい近似になっている。

(5) 差 $E_N-Ne_{\mathrm H}$ は負で（(2) の上界と整合）、$N\to\infty$ で約 $-0.0253$ に収束し 0 にはならない。1粒子あたりでは $E_N/N-e_{\mathrm H}\approx-0.0253/N$ で $1/N$ で消える。これは調和結合ボソンの例題と同じ構図で、平均場極限が保証するのは1粒子あたりのエネルギーまでであり、全エネルギーには平均場が落とした相関（Bogoliubov の揺らぎ）の $\mathcal{O}(1)$ の寄与が残る。第5章の見方では Hartree（ボソンの Hartree–Fock）は上界を与えるだけだったが、定理 6.12 の下界と合わせると誤差が $\mathcal{O}(1/N)$ の幅に挟まれ、「上界がどれほど真値に近いか」に答えが出る（数値は 検算スクリプト で検算）。