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授業で習った形との対応

2026年10月15日8分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第4部 第6章 電磁場中の量子力学
目次
  1. 置き換えの規則と、その出どころ
  2. Zeeman 効果と反磁性の項
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第6章 §4.6.6　★★ 「運動量を p^−qA\hat{\bm{p}}-q\bm{A} に置き換える」規則・Zeeman 効果の μBB(L^z+2S^z)/ℏ\mu_{\mathrm B}B(\hat L_z+2\hat S_z)/\hbar・反磁性の項を、最小結合の展開として並べる

置き換えの規則と、その出どころ

量子力学の授業では、電磁場中の Hamiltonian を「自由粒子の p^2/(2m)\hat{\bm{p}}^2/(2m) で p^\hat{\bm{p}} を p^−qA\hat{\bm{p}}-q\bm{A} に置き換え、qϕq\phi を足す」規則として与えることが多い。この章の形では、置き換えは規則でなく、L=12mr˙2−qϕ+qr˙⋅AL=\frac12m\dot{\bm{r}}^2-q\phi+q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A} の Legendre 変換が H=(p−qA)2/(2m)+qϕH=(\bm{p}-q\bm{A})^2/(2m)+q\phi だったこと（第2部第2章）と、正準量子化が正準運動量に −iℏ∇-\mathrm{i}\hbar\nabla を当てることの2つから出る。規則として覚えると「なぜ p^\hat{\bm{p}} はそのままで A\bm{A} だけ引くのか」が分からないが、p^\hat{\bm{p}} が正準運動量で p^−qA\hat{\bm{p}}-q\bm{A} が mv^m\hat{\bm{v}} だと読めば理由が分かる。ゲージ変換で波動関数の位相を回す規則も、古典の LL が全微分 q dΛ/dtq\,\mathrm{d}\Lambda/\mathrm{d} t だけ変わることの量子版である（命題 4.6.1）。

Zeeman 効果と反磁性の項

原子の Zeeman 効果の授業では、一様な磁場 B=Bez\bm{B}=B\bm{e}_z の中の電子の Hamiltonian をH^=H^0+μBBℏ(L^z+2S^z)+e2B28m(x^2+y^2)\hat H=\hat H_0+\frac{\mu_{\mathrm B}B}{\hbar}(\hat L_z+2\hat S_z)+\frac{e^2B^2}{8m}(\hat x^2+\hat y^2) と書く。第2項の L^z\hat L_z の部分は軌道の磁気モーメント −e2mL^-\frac{e}{2m}\hat{\bm{L}} と磁場の相互作用、2S^z2\hat S_z の部分はスピンの g=2g=2、第3項は反磁性の項と呼ばれる。この式は、対称ゲージ A=12B×r=B2(−y,x,0)\bm{A}=\frac12\bm{B}\times\bm{r}=\frac B2(-y,x,0) で最小結合を展開したものである。x^\hat x と p^y\hat p_y、y^\hat y と p^x\hat p_x は交換するので交差項の並べ方の問題は起きず（∇⋅A=0\nabla\cdot\bm{A}=0）、

(p^−qA)2=p^2−qB(x^p^y−y^p^x)+q2B24(x^2+y^2)=p^2−qBL^z+q2B24(x^2+y^2)(4.6.22)(\hat{\bm{p}}-q\bm{A})^2=\hat{\bm{p}}^2-qB(\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x)+\frac{q^2B^2}{4}(\hat x^2+\hat y^2)=\hat{\bm{p}}^2-qB\hat L_z+\frac{q^2B^2}{4}(\hat x^2+\hat y^2)\tag{4.6.22}

となる。q=−eq=-e を入れて 2m2m で割れば、eB2mL^z=μBBℏL^z\frac{eB}{2m}\hat L_z=\frac{\mu_{\mathrm B}B}{\hbar}\hat L_z と e2B28m(x^2+y^2)\frac{e^2B^2}{8m}(\hat x^2+\hat y^2) が出る。2S^z2\hat S_z の部分は式 (4.6.19) から出る。

授業での書き方この章での書き方
p^→p^−qA\hat{\bm{p}}\to\hat{\bm{p}}-q\bm{A} と置き換えるp^\hat{\bm{p}} は正準運動量、p^−qA=mv^\hat{\bm{p}}-q\bm{A}=m\hat{\bm{v}}（式 (4.6.2)）
ψ→eiqΛ/ℏψ\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\Lambda/\hbar}\psi で形が保たれる古典の L→L+q dΛ/dtL\to L+q\,\mathrm{d}\Lambda/\mathrm{d} t の量子版（命題 4.6.1）
確率の流れ ℏmIm⁡(ψ∗∇ψ)\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}(\psi^*\nabla\psi) に A\bm{A} の項を足す速度の演算子の期待値の密度 Re⁡[ψ∗v^ψ]\operatorname{Re}[\psi^*\hat{\bm{v}}\psi]（式 (4.6.9)）
Landau ゲージで1次元の振動子に帰着させるゲージによらない [mv^x, mv^y]=iℏqB\left[m\hat v_x,\,m\hat v_y\right]=\mathrm{i}\hbar qB から上げ下げ演算子（式 (4.6.10)）
縮退度 eBS/heBS/h を kyk_y の数から数える円の中心の交換関係 (4.6.13) で決まる相空間の面積
Zeeman 項 μBB(L^z+2S^z)/ℏ\mu_{\mathrm B}B(\hat L_z+2\hat S_z)/\hbar対称ゲージの展開 (4.6.22) と Pauli の形 (4.6.19)
反磁性の項 e2B2(x^2+y^2)/(8m)e^2B^2(\hat x^2+\hat y^2)/(8m)q2A2/(2m)q^2\bm{A}^2/(2m) の項
「A\bm{A} は計算の道具」1周の位相 eiq∮A⋅dl/ℏ\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}/\hbar} は観測できる（4.6.4節）

反磁性の項は B2B^2 に比例し、エネルギーを必ず上げる。原子のように L^z\hat L_z の期待値が 00 の状態では、これが磁場に対する最低次の応答になる。一方、例題 4.6.4 の輪の永久電流も磁束を打ち消す向きに流れたが、こちらは A\bm{A} の線積分が消せないことから出た応答で、試料の大きさが ℓB\ell_B を超えるところでは Landau 準位の形成（Landau の反磁性）とつながる（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第4部第4章）。

例題 4.6.6　水素原子の常磁性の項と反磁性の項の比 ★★

オリジナル水素原子の電子が磁場 B=Bez\bm{B}=B\bm{e}_z の中にある。μB=5.788×10−5 eV/T\mu_{\mathrm B}=5.788\times10^{-5}\,\mathrm{eV/T}、Bohr 半径 a0=5.292×10−11 ma_0=5.292\times10^{-11}\,\mathrm m とする。

  1. (1) 1s1s 状態 ∣ψ∣2=e−2r/a0/(πa03)\lvert \psi\rvert ^2=\mathrm{e}^{-2r/a_0}/(\pi a_0^3) で ⟨r2⟩\langle r^2 \rangle と ⟨x2+y2⟩\langle x^2+y^2 \rangle を求めよ。
  2. (2) 1s1s 状態の反磁性の項のエネルギー e2B28m⟨x2+y2⟩\frac{e^2B^2}{8m}\langle x^2+y^2 \rangle を B=1 TB=1\,\mathrm T で求めよ。
  3. (3) (2) と、L^z\hat L_z の固有値 ℏ\hbar の状態の軌道の Zeeman のエネルギー μBB\mu_{\mathrm B}B との比を、磁気長 ℓB=ℏ/(eB)\ell_B=\sqrt{\hbar/(eB)} と a0a_0 で表し、1 T1\,\mathrm T で数値を求めよ。比が 11 になる磁場の大きさはいくらか。
解答

(1) ⟨r2⟩=∫0∞r2e−2r/a0πa034πr2 dr=4a03⋅4!(2/a0)5=3a02\langle r^2 \rangle =\int_0^\infty r^2\frac{\mathrm{e}^{-2r/a_0}}{\pi a_0^3}4\pi r^2\,\mathrm{d} r=\frac{4}{a_0^3}\cdot\frac{4!}{(2/a_0)^5}=3a_0^2。球対称なので ⟨x2⟩=⟨y2⟩=⟨z2⟩=a02\langle x^2 \rangle =\langle y^2 \rangle =\langle z^2 \rangle =a_0^2、⟨x2+y2⟩=2a02\langle x^2+y^2 \rangle =2a_0^2 である。

(2) e2B28m⋅2a02=e2B2a024m=(1.602×10−19)2×(5.292×10−11)24×9.109×10−31=1.97×10−29 J=1.23×10−10 eV\frac{e^2B^2}{8m}\cdot2a_0^2=\frac{e^2B^2a_0^2}{4m}=\frac{(1.602\times10^{-19})^2\times(5.292\times10^{-11})^2}{4\times9.109\times10^{-31}}=1.97\times10^{-29}\,\mathrm J=1.23\times10^{-10}\,\mathrm{eV}。

(3) 比は e2B2a02/(4m)eℏB/(2m)=eBa022ℏ=a022ℓB2\dfrac{e^2B^2a_0^2/(4m)}{e\hbar B/(2m)}=\dfrac{eBa_0^2}{2\hbar}=\dfrac{a_0^2}{2\ell_B^2}。1 T1\,\mathrm T では ℓB=25.7 nm\ell_B=25.7\,\mathrm{nm} なので(5.292×10−11)2/(2×(2.566×10−8)2)=2.13×10−6(5.292\times10^{-11})^2/(2\times(2.566\times10^{-8})^2)=2.13\times10^{-6}。原子の大きさ a0a_0 が磁気長 ℓB\ell_B よりはるかに小さいので、反磁性の項は常磁性の項に比べて小さい。比が 11 になるのは ℓB2=a02/2\ell_B^2=a_0^2/2、つまり B=2ℏ/(ea02)=4.7×105 TB=2\hbar/(ea_0^2)=4.7\times10^5\,\mathrm T のときで、地上の実験室の磁場ではこの領域に届かない。この領域では原子の Coulomb 力より磁場の閉じ込めのほうが強くなり、電子の運動は Landau 準位に近くなる。

木下の勉強ステータス

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