解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部 第6章 §4.6.5 ★★ 運動エネルギーを ( σ ⋅ m v ^ ) 2 / ( 2 m ) (\bm{\sigma}\cdot m\hat{\bm{v}})^2/(2m) ( σ ⋅ m v ^ ) 2 / ( 2 m ) (4.6.5) から Zeeman の項 − ℏ q σ ⋅ B / ( 2 m ) -\hbar q\bm{\sigma}\cdot\bm{B}/(2m) − ℏ q σ ⋅ B / ( 2 m ) g = 2 g=2 g = 2
Pauli 行列で書いた運動エネルギー
スピン 1 2 \frac12 2 1 p ^ 2 / ( 2 m ) \hat{\bm{p}}^2/(2m) p ^ 2 / ( 2 m ) σ i σ j = δ i j + i ∑ k ϵ i j k σ k \sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}+\mathrm{i}\sum_k\epsilon_{ijk}\sigma_k σ i σ j = δ ij + i ∑ k ϵ ij k σ k a \bm{a} a ( σ ⋅ a ) 2 = a 2 (\bm{\sigma}\cdot\bm{a})^2=\bm{a}^2 ( σ ⋅ a ) 2 = a 2 ( σ ⋅ p ^ ) 2 / ( 2 m ) (\bm{\sigma}\cdot\hat{\bm{p}})^2/(2m) ( σ ⋅ p ^ ) 2 / ( 2 m )
磁場の中で p ^ → m v ^ = p ^ − q A \hat{\bm{p}}\to m\hat{\bm{v}}=\hat{\bm{p}}-q\bm{A} p ^ → m v ^ = p ^ − q A m v ^ m\hat{\bm{v}} m v ^
( σ ⋅ m v ^ ) 2 = ∑ i , j σ i σ j m 2 v ^ i v ^ j = m 2 v ^ 2 + i 2 ∑ i , j , k ϵ i j k σ k [ m v ^ i , m v ^ j ] (\bm{\sigma}\cdot m\hat{\bm{v}})^2=\sum_{i,j}\sigma_i\sigma_j\,m^2\hat v_i\hat v_j=m^2\hat{\bm{v}}^2+\frac{\mathrm{i}}{2}\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}\sigma_k\left[m\hat v_i,\,m\hat v_j\right] ( σ ⋅ m v ^ ) 2 = i , j ∑ σ i σ j m 2 v ^ i v ^ j = m 2 v ^ 2 + 2 i i , j , k ∑ ϵ ij k σ k [ m v ^ i , m v ^ j ]
となり、式 (4.6.5) を入れると ∑ i , j ϵ i j k ϵ i j l = 2 δ k l \sum_{i,j}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijl}=2\delta_{kl} ∑ i , j ϵ ij k ϵ ij l = 2 δ k l
( σ ⋅ ( p ^ − q A ) ) 2 2 m = ( p ^ − q A ) 2 2 m − ℏ q 2 m σ ⋅ B (4.6.19) \frac{(\bm{\sigma}\cdot(\hat{\bm{p}}-q\bm{A}))^2}{2m}=\frac{(\hat{\bm{p}}-q\bm{A})^2}{2m}-\frac{\hbar q}{2m}\bm{\sigma}\cdot\bm{B}\tag{4.6.19} 2 m ( σ ⋅ ( p ^ − q A ) ) 2 = 2 m ( p ^ − q A ) 2 − 2 m ℏ q σ ⋅ B ( 4.6.19 )
を得る。右辺第2項が、スピンと磁場の相互作用（Zeeman の項）である。左辺を運動エネルギーとして選んだ
H ^ P = ( σ ⋅ ( p ^ − q A ) ) 2 2 m + q ϕ (4.6.20) \hat H_{\mathrm P}=\frac{(\bm{\sigma}\cdot(\hat{\bm{p}}-q\bm{A}))^2}{2m}+q\phi\tag{4.6.20} H ^ P = 2 m ( σ ⋅ ( p ^ − q A ) ) 2 + q ϕ ( 4.6.20 )
を Pauli の Hamiltonian と呼ぶ。
電子（q = − e q=-e q = − e e ℏ 2 m σ ⋅ B = μ B σ ⋅ B \frac{e\hbar}{2m}\bm{\sigma}\cdot\bm{B}=\mu_{\mathrm B}\bm{\sigma}\cdot\bm{B} 2 m e ℏ σ ⋅ B = μ B σ ⋅ B μ B = e ℏ / ( 2 m ) \mu_{\mathrm B}=e\hbar/(2m) μ B = e ℏ/ ( 2 m ) S ^ = ℏ 2 σ \hat{\bm{S}}=\frac\hbar2\bm{\sigma} S ^ = 2 ℏ σ μ = − g μ B S ^ / ℏ \bm{\mu}=-g\mu_{\mathrm B}\hat{\bm{S}}/\hbar μ = − g μ B S ^ /ℏ − μ ⋅ B = g μ B S ^ ⋅ B / ℏ -\bm{\mu}\cdot\bm{B}=g\mu_{\mathrm B}\hat{\bm{S}}\cdot\bm{B}/\hbar − μ ⋅ B = g μ B S ^ ⋅ B /ℏ (4.6.19) から g = 2 g=2 g = 2 4.6.6 節）では係数が 1 1 1
何を選んだことになるか
式 (4.6.19) の左辺と右辺第1項は、磁場が無ければ同じ演算子である。したがって、磁場の無い世界の観測だけからは、どちらを選ぶべきかは決まらない。( σ ⋅ m v ^ ) 2 / ( 2 m ) (\bm{\sigma}\cdot m\hat{\bm{v}})^2/(2m) ( σ ⋅ m v ^ ) 2 / ( 2 m ) g = 2 g=2 g = 2 m v ^ 2 / 2 m\hat{\bm{v}}^2/2 m v ^ 2 /2 g g g L L L g = 2 g=2 g = 2 第5部第4章 ）の速さが光速より十分小さい極限として式 (4.6.20) が出ることから決まる。
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの v / c → 0 v/c\to0 v / c → 0 1 / c 1/c 1/ c 証明 要確認（Dirac 方程式の非相対論極限が Pauli の Hamiltonian に収束する前提を原論文で確かめていない） ｜ 行き先 近似の数理 第7章
実際の電子の g g g 2.00231930436256 2.00231930436256 2.00231930436256 1 1 E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor (2021), Reviews of Modern Physics 93, 025010.
スピンつきの Landau 準位
一様な磁場 B = B e z \bm{B}=B\bm{e}_z B = B e z (4.6.19) の右辺第1項から Landau 準位が出て、第2項は σ z \sigma_z σ z ± 1 \pm1 ± 1 ± μ B B \pm\mu_{\mathrm B}B ± μ B B μ B B = e ℏ B 2 m = 1 2 ℏ ω c \mu_{\mathrm B}B=\frac{e\hbar B}{2m}=\frac12\hbar\omega_{\mathrm c} μ B B = 2 m e ℏ B = 2 1 ℏ ω c ω c = e B / m \omega_{\mathrm c}=eB/m ω c = e B / m
E n , σ = ℏ ω c ( n + 1 2 + σ 2 ) ( n = 0 , 1 , 2 , … , σ = ± 1 ) (4.6.21) E_{n,\sigma}=\hbar\omega_{\mathrm c}\Bigl(n+\frac12+\frac{\sigma}{2}\Bigr)\qquad(n=0,1,2,\dots,\ \sigma=\pm1)\tag{4.6.21} E n , σ = ℏ ω c ( n + 2 1 + 2 σ ) ( n = 0 , 1 , 2 , … , σ = ± 1 ) ( 4.6.21 )
になる。スピンが下向き（σ = − 1 \sigma=-1 σ = − 1 0 0 0 n ℏ ω c n\hbar\omega_{\mathrm c} n ℏ ω c n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 ( n , ↓ ) (n,\downarrow) ( n , ↓ ) ( n − 1 , ↑ ) (n-1,\uparrow) ( n − 1 , ↑ ) g = 2 g=2 g = 2
例題 4.6.5 g g g
オリジナル 電子の Zeeman の項を g g g g 2 μ B B σ z \frac g2\mu_{\mathrm B}B\sigma_z 2 g μ B B σ z B B B E n , σ = ℏ ω c ( n + 1 2 ) + g 4 ℏ ω c σ E_{n,\sigma}=\hbar\omega_{\mathrm c}(n+\frac12)+\frac g4\hbar\omega_{\mathrm c}\sigma E n , σ = ℏ ω c ( n + 2 1 ) + 4 g ℏ ω c σ
(1) E n , ↑ − E n + 1 , ↓ E_{n,\uparrow}-E_{n+1,\downarrow} E n , ↑ − E n + 1 , ↓ g g g (2) g = 2 g=2 g = 2 N N N (3) g = 2.00231930436256 g=2.00231930436256 g = 2.00231930436256 B = 1 T B=1\,\mathrm T B = 1 T E n , ↑ − E n + 1 , ↓ E_{n,\uparrow}-E_{n+1,\downarrow} E n , ↑ − E n + 1 , ↓ e V \mathrm{eV} eV ℏ ω c = 1.158 × 10 − 4 e V \hbar\omega_{\mathrm c}=1.158\times10^{-4}\,\mathrm{eV} ℏ ω c = 1.158 × 1 0 − 4 eV
解答 (1) E n , ↑ − E n + 1 , ↓ = ℏ ω c ( n + 1 2 ) + g 4 ℏ ω c − ℏ ω c ( n + 3 2 ) + g 4 ℏ ω c = g − 2 2 ℏ ω c E_{n,\uparrow}-E_{n+1,\downarrow}=\hbar\omega_{\mathrm c}\bigl(n+\tfrac12\bigr)+\tfrac g4\hbar\omega_{\mathrm c}-\hbar\omega_{\mathrm c}\bigl(n+\tfrac32\bigr)+\tfrac g4\hbar\omega_{\mathrm c}=\dfrac{g-2}{2}\hbar\omega_{\mathrm c} E n , ↑ − E n + 1 , ↓ = ℏ ω c ( n + 2 1 ) + 4 g ℏ ω c − ℏ ω c ( n + 2 3 ) + 4 g ℏ ω c = 2 g − 2 ℏ ω c
(2) g = 2 g=2 g = 2 0 0 0 ( n , ↑ ) (n,\uparrow) ( n , ↑ ) ( n + 1 , ↓ ) (n+1,\downarrow) ( n + 1 , ↓ ) ( n + 1 ) ℏ ω c (n+1)\hbar\omega_{\mathrm c} ( n + 1 ) ℏ ω c ( 0 , ↓ ) (0,\downarrow) ( 0 , ↓ ) ℏ ω c ( 1 2 − 1 2 ) = 0 \hbar\omega_{\mathrm c}(\frac12-\frac12)=0 ℏ ω c ( 2 1 − 2 1 ) = 0 N N N n ℏ ω c n\hbar\omega_{\mathrm c} n ℏ ω c n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 2 N 2N 2 N
(3) g − 2 2 = 1.16 × 10 − 3 \frac{g-2}{2}=1.16\times10^{-3} 2 g − 2 = 1.16 × 1 0 − 3 1.16 × 10 − 3 × 1.158 × 10 − 4 = 1.34 × 10 − 7 e V 1.16\times10^{-3}\times1.158\times10^{-4}=1.34\times10^{-7}\,\mathrm{eV} 1.16 × 1 0 − 3 × 1.158 × 1 0 − 4 = 1.34 × 1 0 − 7 eV ℏ ω c \hbar\omega_{\mathrm c} ℏ ω c 1 / 860 1/860 1/860 g − 2 g-2 g − 2
1 E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor (2021), Reviews of Modern Physics 93, 025010.
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
