授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第8章 §8.6　★★ 学部の光学の Rayleigh の基準 $0.61\lambda/(n\sin\alpha)$ は点の像の形についての約束で、Abbe の $\lambda/(2n\sin\alpha)$ は伝達関数の切れる所である。どちらも同じ瞳から出て、数の違いは基準の違い

学部の光学では、顕微鏡の分解能を2つの式で習う。1つは Rayleigh の基準で、2つの点の像の一方の中心が他方の最初の暗い輪に重なるとき2点がちょうど分かれるとみなし、分けられる最小の間隔を

$$\delta_{\mathrm R}=1.22\frac{\lambda f}{D}=0.61\frac{\lambda}{n\sin\alpha}\tag{8.12}$$

と書く（$f$ はレンズの焦点距離、$D$ は口径、$\alpha$ は対物レンズに入る光の最大の角）。もう1つは Abbe の顕微鏡の理論で、格子を物体として0次と1次の光がともに対物レンズに入るとき格子の像ができるとし、斜めの照明で見える最小の周期を

$$d_{\mathrm A}=\frac{\lambda}{2n\sin\alpha}\tag{8.13}$$

と書く。$n\sin\alpha$ がこの章の $\mathrm{NA}$ で、$\lambda$ は真空中の波長 $\lambda_0$ である。

この章の言葉では、式 (8.13) は定理 8.1 の円板の半径 $2k_0\mathrm{NA}$ を周期に直したもので、伝達関数（図 8.1）が $0$ になる所を表す。式 (8.12) は、その伝達関数の逆 Fourier 変換である点の像（Airy 円盤）の最初の零点 $k_0\mathrm{NA}\,r=3.832$ を、$r=3.832/(2\pi)\cdot\lambda_0/\mathrm{NA}=0.610\lambda_0/\mathrm{NA}$ と書いたものである。2つの式の係数 $0.61$ と $0.5$ の違いは物理の違いでなく、「2点が分かれて見える」ことの約束の違いである。Rayleigh の基準で並べた2点の像は、2つの山の間の谷の深さが山の高さの $0.735$ 倍で、谷がはっきり見える。谷がちょうど消える間隔を分かれる境目とする Sparrow の基準では、間隔は $0.474\lambda_0/\mathrm{NA}$ になり、Abbe の値に近づく。

露光装置の式 (8.5) は、同じ限界をハーフピッチで書き、照明とマスクの工夫を $k_1$ にまとめたものである。$k_1=1/4$ が Abbe の値に当たる。学部の授業でこれらの式を別々の公式として覚えたときは、定理 8.1 の1つの円板からの読み方の違いとして並べ直すことができる。