授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第3部 第1章 §3.1.6　★★ 流体の連続の方程式・統計力学の「相空間の升目」・量子力学の von Neumann 方程式と、Liouville 方程式を並べる

流体の連続の方程式

流体力学や電磁気学の授業では、密度 $n(\bm{r},t)$ と流速 $\bm{u}(\bm{r},t)$ について連続の方程式 $\partial n/\partial t+\nabla\cdot(n\bm{u})=0$ を習う。流れが非圧縮（$\nabla\cdot\bm{u}=0$）なら、これは物質微分 $Dn/Dt=\partial n/\partial t+\bm{u}\cdot\nabla n=0$ になり、流体の小部分の密度は流れに沿って変わらない。この章の式 (3.1.10) と (3.1.11) は、この2つの式を $2f$ 次元の相空間に移したもので、対応は次のとおりである。

$$\begin{array}{ccc} \text{流体（3次元の空間）} & & \text{相空間（}{2f}\text{ 次元）}\\[2pt] n(\bm{r},t),\ \bm{u}(\bm{r},t) & \longleftrightarrow & \rho(q,p,t),\ v=(\partial H/\partial p,\ -\partial H/\partial q)\\ \nabla\cdot\bm{u}=0\ \text{（仮定）} & \longleftrightarrow & \nabla\cdot v=0\ \text{（Hamilton 方程式から自動的に）}\\ Dn/Dt=0 & \longleftrightarrow & \partial\rho/\partial t+\{\rho,H\}=0 \end{array}$$

流体では非圧縮性は近似か仮定だが、相空間では Hamilton 方程式の形から厳密に成り立つ。相空間の点の集まりは、厳密に非圧縮な流体として振る舞う。

統計力学の教科書の書き方

統計力学の授業の多くは、「孤立系ではエネルギーが $E$ の微視的状態はすべて等しい確率で現れる」（等重率の原理）を仮定として置き、状態の数を

$$W(E)=\int_{E\le H\le E+\Delta E}\frac{\mathrm{d}^{3N}q\,\mathrm{d}^{3N}p}{h^{3N}N!}$$

で数えるところから始める（記法の正本の測度 $\mathrm{d}\Gamma$）。ここで「等しい確率」が相空間の体積 $\mathrm{d}^{3N}q\,\mathrm{d}^{3N}p$ についての一様分布を指していることには理由がある。この章で見たとおり、正準変数で測った体積は時間発展で変わらないので、体積で重みを付けた一様分布は力学と矛盾しない（3.1.4節）。速度で測った $\mathrm{d}^{3N}q\,\mathrm{d}^{3N}\dot q$ や、正準でない変数で測った体積に一様な重みを置くと、時間がたつと一様でなくなる。等重率は Liouville の定理だけからは導けないが、Liouville の定理によって「どの変数で一様と言うべきか」が決まる。$1/(h^{3N}N!)$ の因子の意味は次の章（第3部第2章）で扱う。

磁場の中の荷電粒子では、正準運動量は $\bm{p}=m\bm{v}+q\bm{A}(\bm{r})$ である（第2部第2章）。変数を $(\bm{r},m\bm{v})$ から $(\bm{r},\bm{p})$ へ取り替えるときの Jacobi 行列式は、$\bm{p}$ が $m\bm{v}$ を $\bm{r}$ だけの関数 $q\bm{A}(\bm{r})$ ずらしたものなので $1$ である。したがって磁場中でも $\mathrm{d}^3r\,\mathrm{d}^3(m\bm{v})$ で測った体積が保たれ、速度で書いた教科書の Maxwell 分布をそのまま使うことができる。

量子力学の von Neumann 方程式

量子力学では、確率の重みを持った状態の集まりを密度行列 $\hat\rho$ で表し、その時間発展は von Neumann 方程式

$$\frac{\partial \hat\rho}{\partial t}=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat H,\,\hat\rho\right]\tag{3.1.21}$$

に従う。Poisson 括弧を交換子に置き換える規則 $\{\cdot,\cdot\}\to\left[\cdot,\,\cdot\right]/(\mathrm{i}\hbar)$（第1部第11章）を Liouville 方程式 $\partial\rho/\partial t=\{H,\rho\}$ に当てると、ちょうどこの式になる。解は $\hat\rho(t)=\hat U(t)\hat\rho_0\hat U(t)^\dagger$（$\hat U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$）で、式 (3.1.12) の「初期の密度を流れで運ぶ」の量子版である。ユニタリ変換は $\hat\rho$ の固有値を変えないので、固有値だけで決まる $\operatorname{Tr}\hat\rho^2$ や von Neumann エントロピー $S(\hat\rho)=-\operatorname{Tr}(\hat\rho\ln\hat\rho)$ は時間によらない。これが式 (3.1.19) の量子版である。量子統計への移り方は 第5部第1章 で扱う。

光学のエタンデュ

幾何光学では、光線の束の「断面積×開き角」（エタンデュ）がレンズ系を通っても増えないことを習う。これは光線の位置と方向余弦（に屈折率を掛けたもの）を相空間の変数とみなしたときの Liouville の定理で、第2部第10章 で光線の Hamilton 形式から導く。