この章のまとめ

(1) 第1部第12章の流れ $\varphi_t(q,p)=\bigl(q\cos\omega t+\frac{p}{m\omega}\sin\omega t,\ p\cos\omega t-m\omega q\sin\omega t\bigr)$ の逆は $t$ を $-t$ にしたものなので、

$$\rho(q,p,t)=\rho_0\Bigl(q\cos\omega t-\frac{p}{m\omega}\sin\omega t,\ \ p\cos\omega t+m\omega q\sin\omega t\Bigr).$$

指数の中は $(q,p)$ の2次形式のままなので、$\rho$ は時刻 $t$ でも正規分布で、その楕円の軸が回る。

(2) 流れは線形 $z\mapsto Mz$ で、$M=\begin{pmatrix}\cos\omega t&\sin\omega t/(m\omega)\\-m\omega\sin\omega t&\cos\omega t\end{pmatrix}$。線形写像で運んだ確率変数の共分散は $C(t)=MC(0)M^{\mathsf T}$ である。$\det C(t)=(\det M)^2\det C(0)=\sigma_q^2\sigma_p^2$ で、Liouville の定理 $\det M=1$ から時間によらない。$\rho$ が最大値の $\mathrm{e}^{-1/2}$ 倍になる楕円は $z^{\mathsf T}C^{-1}z=1$ で、その面積は $\pi\sqrt{\det C}=\pi\sigma_q\sigma_p$ のまま変わらない（数値 $\sigma_q=1$, $\sigma_p=2$ で $2\pi=6.28$）。

(3) $\{q^2,H\}=2qp/m$, $\{qp,H\}=p^2/m-m\omega^2q^2$, $\{p^2,H\}=-2m\omega^2qp$ なので

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle q^2 \rangle =\frac2m\langle qp \rangle ,\qquad \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle qp \rangle =\frac1m\langle p^2 \rangle -m\omega^2\langle q^2 \rangle ,\qquad \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle p^2 \rangle =-2m\omega^2\langle qp \rangle .$$

$C(t)=MC(0)M^{\mathsf T}$ の成分を書くと $\langle q^2 \rangle =\sigma_q^2\cos^2\omega t+\frac{\sigma_p^2}{m^2\omega^2}\sin^2\omega t$、$\langle qp \rangle =\bigl(\frac{\sigma_p^2}{m\omega}-m\omega\sigma_q^2\bigr)\sin\omega t\cos\omega t$、$\langle p^2 \rangle =\sigma_p^2\cos^2\omega t+m^2\omega^2\sigma_q^2\sin^2\omega t$ で、たとえば $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle q^2 \rangle =2\omega\bigl(\frac{\sigma_p^2}{m^2\omega^2}-\sigma_q^2\bigr)\sin\omega t\cos\omega t=\frac2m\langle qp \rangle$ となって第1式を満たす（残りの2式も同様）。$m=\omega=\sigma_q=1$, $\sigma_p=2$ では $\langle q^2 \rangle =\cos^2t+4\sin^2t=1+3\sin^2t$ で、$1$ と $4$ の間を周期 $\pi$ で行き来する。$t=\pi/4$ では $1+3/2=2.5$。位置の広がりは周期的に大きくなったり小さくなったりするだけで、一方向に広がっていくことはない。

(4) $\langle q^2 \rangle$ が時間によらないのは $\sigma_p^2/(m^2\omega^2)=\sigma_q^2$、すなわち $\sigma_p=m\omega\sigma_q$ のときである。このとき

$$\frac{q^2}{2\sigma_q^2}+\frac{p^2}{2m^2\omega^2\sigma_q^2}=\frac{1}{m\omega^2\sigma_q^2}\Bigl(\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2q^2\Bigr)=\frac{H}{m\omega^2\sigma_q^2}$$

なので $\rho_0\propto\mathrm{e}^{-H/(m\omega^2\sigma_q^2)}$ で、$H$ の関数になる。3.1.4節のとおり $\{H,\rho_0\}=0$ で、$\rho$ は時間によらない（このとき (1) の楕円は円に相当し、回しても変わらない）。$\mathrm{e}^{-\beta H}$ と比べて $\beta=1/(m\omega^2\sigma_q^2)$、すなわち $k_{\mathrm B} T=m\omega^2\sigma_q^2$。これは $\frac12m\omega^2\langle q^2 \rangle =\frac12 k_{\mathrm B} T$ と書き直すことができ、等分配則の形をしている（第3部第6章）。

(5) $\ln(h\rho_0)=\ln\frac{h}{2\pi\sigma_q\sigma_p}-\frac{q^2}{2\sigma_q^2}-\frac{p^2}{2\sigma_p^2}$ を $\rho_0$ で平均すると、$\langle q^2 \rangle =\sigma_q^2$, $\langle p^2 \rangle =\sigma_p^2$ から$-\langle \ln(h\rho_0) \rangle =\ln\frac{2\pi\sigma_q\sigma_p}{h}+\frac12+\frac12$ で、$S_{\mathrm G}[\rho_0]= k_{\mathrm B}[1+\ln(2\pi\sigma_q\sigma_p/h)]$。時刻 $t$ では式 (3.1.19) から同じ値である（(2) の言葉では、正規分布のエントロピーは $\det C$ だけで決まり、それが一定だから）。$h=2\pi$ となる単位で $\sigma_q=1$, $\sigma_p=2$ なら $S_{\mathrm G}/ k_{\mathrm B}=1+\ln2=1.693$。

$q$ の周辺分布は分散 $\langle q^2 \rangle$ の正規分布で、エントロピーは $\frac12 k_{\mathrm B}\ln(2\pi\mathrm{e}\langle q^2 \rangle )$。(3) の数値では $\langle q^2 \rangle =1$ で $1.419 k_{\mathrm B}$、$\langle q^2 \rangle =4$ で $2.112 k_{\mathrm B}$ で、その間を周期 $\pi$ で上下する。周辺分布のエントロピーの和は $S_{\mathrm G}$ 以上で、差は $q$ と $p$ の相関の量である。$t=0$ では相関がなく等号、$t=\pi/4$ では差が $k_{\mathrm B}\ln(5/4)$ になるが、$t=\pi/2$ で再び $0$ に戻る。回転子では角運動量の違いで回る速さが異なり、分布が細い筋に引き伸ばされて混合した。調和振動子ではすべての点が同じ角振動数 $\omega$ で回るので、分布の楕円は形を変えずに回るだけで筋にならず、粗く見たエントロピーは周期的に戻る。粗視化したエントロピーが増え続けるには、Liouville の定理に加えて、混合を起こす運動（周期が点ごとに異なるなど）が必要である。