この章のまとめ

(1) 第3章・第4章 §固有値問題への適用。$\lvert x\rvert \ge0$ なので $H\ge0$ で、$H$ は下に有界な自己共役作用素である。さらに $\lvert x\rvert \to\infty$ でポテンシャルが際限なく大きくなるので、スペクトルは離散固有値だけからなり、最低固有値 $E_0$ がある。$\psi_\alpha$ は $H$ の定義域に入るので、1次元の部分空間$\{c\,\psi_\alpha\}$ で Rayleigh–Ritz を行ったことになり、定理 4.6（第3章の min-max 原理）から $E(\alpha)\ge E_0$ がすべての $\alpha$ で成り立つ。

$\lvert \psi_\alpha\rvert ^2$ は分散 $1/(4\alpha)$ の正規分布なので $\langle x^2 \rangle =1/(4\alpha)$、$\langle \lvert x\rvert \rangle =2\sqrt{2\alpha/\pi}\int_0^\infty x\mathrm{e}^{-2\alpha x^2}\mathrm{d} x=1/\sqrt{2\pi\alpha}$ である。運動エネルギーは $\frac12\int\lvert \psi_\alpha'\rvert ^2\mathrm{d} x=\frac12\cdot4\alpha^2\langle x^2 \rangle =\alpha/2$ なので

$$E(\alpha)=\frac\alpha2+\frac{1}{\sqrt{2\pi\alpha}},\qquad E'(\alpha)=\frac12-\frac12\,(2\pi)^{-1/2}\alpha^{-3/2}=0 .$$

よって $\alpha^{*3/2}=(2\pi)^{-1/2}$、すなわち $\alpha^*=(2\pi)^{-1/3}=0.54193$。このとき $1/\sqrt{2\pi\alpha^*}=\alpha^*$ なので$E(\alpha^*)=\frac32\alpha^*=0.81289$ である。厳密値 $E_0=0.80862$ との差は $4.27\times10^{-3}$（相対誤差 $0.53\%$）で、確かに上にある。

(2) 第4章 §下界。$\psi_\alpha''=(4\alpha^2x^2-2\alpha)\psi_\alpha$ なので $H\psi_\alpha=(\alpha-2\alpha^2x^2+\lvert x\rvert )\psi_\alpha$ である。2乗の期待値を展開し、$\langle x^4 \rangle =3/(16\alpha^2)$、$\langle \lvert x\rvert ^3 \rangle =1/(2\alpha\sqrt{2\pi\alpha})$ を使うと

$$\langle H^2 \rangle =\alpha^2-4\alpha^3\langle x^2 \rangle +4\alpha^4\langle x^4 \rangle +\langle x^2 \rangle +2\alpha\langle \lvert x\rvert \rangle -4\alpha^2\langle \lvert x\rvert ^3 \rangle =\frac{3\alpha^2}{4}+\frac{1}{4\alpha}.$$

$\lvert x\rvert$ を含む2項 $2\alpha/\sqrt{2\pi\alpha}$ と $-2\alpha/\sqrt{2\pi\alpha}$ はちょうど打ち消し合う。$\alpha=\alpha^*$ では $\alpha^{*3}=1/(2\pi)$ なので

$$\sigma^2=\frac{3\alpha^{*2}}{4}+\frac{1}{4\alpha^*}-\frac{9\alpha^{*2}}{4}=\frac{1-6\alpha^{*3}}{4\alpha^*}=\frac{1-3/\pi}{4\alpha^*}=0.020792,\qquad\sigma=0.1442 .$$

$\varepsilon =E_1=1.85576$ とすると (4.9) から $E_0\ge0.81289-0.020792/(1.85576-0.81289)=0.79295$。$H$ は $x\mapsto-x$ と可換で $\psi_{\alpha^*}$ は偶関数なので、偶関数の部分空間だけで考えれば比べる相手は次の偶の状態 $E_2$ になり、$\varepsilon =E_2=2.57810$ として $E_0\ge0.81289-0.020792/1.76521=0.80111$。結局

$$0.80111\le E_0\le0.81289$$

と幅 $0.012$ で挟める。対称性で $\varepsilon$ を遠ざけると下界が厳密値に近づく、という Temple の不等式の使い方そのものである。参考までに、Weinstein の評価だけでは幅は $\pm\sigma=\pm0.144$ で、10倍以上粗い。

(3) 第4章 §エネルギーの誤差は波動関数の誤差の2乗。$\tilde\psi=\psi_{\alpha^*}/\langle \psi_0,\,\psi_{\alpha^*}\rangle =\psi_0+e$ とすると、$1-\lvert \langle \psi_0,\,\psi_{\alpha^*}\rangle \rvert ^2=\lVert e\rVert ^2/(1+\lVert e\rVert ^2)$ である。$e$ は偶関数なので (4.8) の $E_1$ に $E_2$ を使ってよく、

$$1-\lvert \langle \psi_0,\,\psi_{\alpha^*}\rangle \rvert ^2\le\frac{E(\alpha^*)-E_0}{E_2-E_0}.$$

$E_0$ は分からないことにするので、分子は (2) の下界で $E(\alpha^*)-E_0\le0.81289-0.80111=0.01178$ と上から押さえ、分母は $E_0\le E(\alpha^*)$ から $E_2-E_0\ge2.57810-0.81289=1.76521$ と下から押さえる。よって

$$1-\lvert \langle \psi_0,\,\psi_{\alpha^*}\rangle \rvert ^2\le\frac{0.01178}{1.76521}=6.7\times10^{-3}.$$

厳密な $E_0$ を使えば上界は $2.4\times10^{-3}$、数値積分で求めた実際の値は $1.1\times10^{-3}$ である。数学の側だけで「波動関数の重なりは $99.3\%$ 以上」と保証できたことになる。エネルギーの相対誤差 $0.5\%$ に対して$\lVert e\rVert$ は $3\%$ 程度で、ここでも誤差の2乗則が見えている。

(4) 第2章 §常微分方程式の存在と一意性、第4章 §収束の速さは解の正則性で決まる。固有値方程式を $\psi_0''=2(\lvert x\rvert -E_0)\psi_0$ と書くと、右辺は連続なので $\psi_0''$ は連続である。もう一度微分すると、$x\ne0$ で

$$\psi_0'''=2\operatorname{sgn}(x)\,\psi_0+2(\lvert x\rvert -E_0)\psi_0'$$

となる。基底状態は偶関数なので $\psi_0'(0)=0$ で、$x\to0^\pm$ の極限は $\psi_0'''(0^\pm)=\pm2\psi_0(0)$、跳びは $4\psi_0(0)$ である。ここで $\psi_0(0)\ne0$ である。もし $\psi_0(0)=0$ なら $\psi_0(0)=\psi_0'(0)=0$ となり、初期値問題の解の一意性（第2章）から$\psi_0\equiv0$ となって固有関数であることに反する。したがって $\psi_0$ は $C^2$ だが $C^3$ ではなく、とくに解析的でない。

一方、ガウス関数や調和振動子の固有関数（ガウス関数と多項式の積）は実軸全体で解析的である。命題 4.13 の (iii) と同じく、部分積分を繰り返したときに $x=0$ の跳びが境界項として残るので、展開係数はある冪でしか減らず、Céa の補題の右辺$\inf_{v\in V_n}\lVert \psi_0-v\rVert$ は代数的にしか小さくならない。実際、振動数を $2\alpha^*$ に選んだ偶の調和振動子固有関数 $n$ 個でRayleigh–Ritz を行うと、誤差は $n=4,8,16,32$ で $4.13\times10^{-4}$、$5.62\times10^{-5}$、$8.85\times10^{-6}$、$1.47\times10^{-6}$ となり、$n$ を倍にするごとに約 $1/6$ にしかならない（指数収束なら倍にするごとに減り方の比そのものが2乗で縮む）。ポテンシャルが $x^2/2$ なら真の解はガウス関数そのもので1個で厳密になることと比べると、ポテンシャルの折れ目1つが解の正則性を通して収束の速さを決めていることが分かる（検算スクリプト）。