この章のまとめ

(1) bcc の単位胞には2原子あるので $n=2/a^3=2/(0.429\times10^{-9})^3=2.53\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}$。$k_{\mathrm F}=(3\pi^2n)^{1/3}=9.09\times10^{9}\,\mathrm{m^{-1}}$、$\varepsilon _{\mathrm F}=\hbar^2k_{\mathrm F}^2/(2m)=3.15\,\mathrm{eV}$、$v_{\mathrm F}=\hbar k_{\mathrm F}/m=1.05\times10^6\,\mathrm{m/s}$、$r_{\mathrm s}=(3/(4\pi n))^{1/3}=3.99a_0$。例題 5.1.1 の Hartree–Fock の最小 $4.83a_0$ に近い、密度の低い金属である。

(2) $q_{\mathrm{TF}}^2=3ne^2/(2\varepsilon _0\varepsilon _{\mathrm F})$ から $q_{\mathrm{TF}}=1.48\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}$、遮蔽長 $1/q_{\mathrm{TF}}=0.0676\,\mathrm{nm}$。$q_{\mathrm{TF}}/(2k_{\mathrm F})=0.814$ で、$r_{\mathrm s}$ が大きいほど $q_{\mathrm{TF}}/k_{\mathrm F}\propto(k_{\mathrm F}a_0)^{-1/2}$ は大きくなる。最近接距離は $\sqrt3\times0.429/2=0.372\,\mathrm{nm}$ で、遮蔽長の $5.5$ 倍である。密度の低いナトリウムでも、イオンの電荷は隣のイオンの位置ではほとんど遮蔽されている。

(3) $\hbar\omega_{\mathrm p}=\hbar\sqrt{ne^2/(\varepsilon _0m)}=5.91\,\mathrm{eV}$、$\hbar\omega_{\mathrm p}/\varepsilon _{\mathrm F}=1.88$。$W=\hbar\omega/\varepsilon _{\mathrm F}$、$x=q/k_{\mathrm F}$ として $W^2=1.88^2+\frac{12}{5}x^2$ と $W=2x+x^2$ を等しいとおくと $x=0.804$。アルミニウム（$\hbar\omega_{\mathrm p}/\varepsilon _{\mathrm F}=1.354$、$x=0.635$）より $\hbar\omega_{\mathrm p}/\varepsilon _{\mathrm F}$ が大きいので、プラズモンは連続帯から離れた所にあり、より大きい $q$ まで鋭く残る。$\hbar\omega_{\mathrm p}/\varepsilon _{\mathrm F}\propto(r_{\mathrm s}/a_0)^{1/2}$ だからである。

(4) $\Omega_{\mathrm p}^2=n e^2/(\varepsilon _0M)$（$Z=1$、$n_{\mathrm{ion}}=n$）から $\Omega_{\mathrm p}=4.39\times10^{13}\,\mathrm{s^{-1}}$（$\hbar\Omega_{\mathrm p}=28.9\,\mathrm{meV}$）。$v_{\mathrm s}=\Omega_{\mathrm p}/q_{\mathrm{TF}}=\sqrt{m/(3M)}\,v_{\mathrm F}=2.82\times10^{-3}\times1.05\times10^6=2.97\times10^3\,\mathrm{m/s}$。音波では $\omega/(qv_{\mathrm F})=v_{\mathrm s}/v_{\mathrm F}=2.8\times10^{-3}\ll1$ で、電子はイオンの動きに比べて十分速く動くことができる。式 (5.1.5) で $\hbar\omega\ll\hbar qv_{\mathrm F}$ なら$\chi_0(q,\omega)\approx\chi_0(q,0)$ なので、静的な遮蔽を使ってよい。$q$ が $q_{\mathrm{TF}}$ に近づくと $\varepsilon _{\mathrm r}\approx q_{\mathrm{TF}}^2/q^2$ が使えなくなり、分散は直線から外れて Brillouin 域の端へ向かって寝る。この $v_{\mathrm s}$ は電子の気体だけから出た縦波の音速の見積もりで、実際の結晶ではイオンの芯どうしの反発と周期ポテンシャルが加わる。

(5) $m^*/m=\gamma/\gamma_0=1.25$、式 (5.1.20) から $F^{\mathrm s}_1=3(1.25-1)=0.75$。式 (5.1.21) から $1+F^{\mathrm a}_0=1/1.6$、$F^{\mathrm a}_0=-0.375$。$\chi_{\mathrm m}/\chi_{\mathrm m}^{(0)}=R_{\mathrm W}\cdot\gamma/\gamma_0=1.6\times1.25=2.00$。$F^{\mathrm a}_0<0$ は同じ向きのスピンがそろうと準粒子のエネルギーが下がることを表し、Pauli 常磁性は交換によって増強される。$-1$ まではまだ距離があり、強磁性にはならない。