授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第1部 第1章 §1.1.6　★★ 授業の固体物理が出発点として置く式が、全体の $\hat H$ からどの削り方を経て出てくるか

周期ポテンシャルの中の1電子

学部の固体物理の授業は、多くの場合、結晶構造と回折から始まり、次に「周期ポテンシャル $U(\bm{r})$ の中の1電子の Schrödinger 方程式」

$$\Bigl[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\bm{r})\Bigr]\psi(\bm{r})=\varepsilon \,\psi(\bm{r}),\qquad U(\bm{r}+\bm{R})=U(\bm{r})\tag{1.1.13}$$

を出発点として置く。この巻では、これを式 (1.1.1) に3つの削り方を当てた結果と読む。原子核を平衡位置に止め（Born–Oppenheimer 近似と、振動を削る）、内殻の電子をイオンにまとめ、価電子どうしの相互作用を平均の $v_{\mathrm{eff}}$ に置き換える（1電子近似）と式 (1.1.5) になる。原子核が周期的に並んでいれば $v_{\mathrm{eff}}$ も周期的になるので、授業の $U(\bm{r})$ は $v_{\mathrm{eff}}(\bm{r})$ のことである。授業で「電子は互いに独立に動くとする」と1文で置く仮定が、この巻では札の付いた近似になる。

自由電子気体と格子振動

授業の自由電子気体は、式 (1.1.13) でさらに $U(\bm{r})$ を一定とおいたものである。イオンの電荷を一様に塗り広げた背景（ジェリウム）と電子の平均の電荷が打ち消し合うので、$v_{\mathrm{eff}}$ は定数になる。電子の数密度 $n$ から Fermi 波数 $k_{\mathrm F}=(3\pi^2n)^{1/3}$ と Fermi エネルギー $\varepsilon _{\mathrm F}=\hbar^2k_{\mathrm F}^2/(2m)$ が決まる（第4部第1章）。

格子振動は、授業では「原子をばねでつないだ鎖」から始める。この巻では、ばねの定数を Born–Oppenheimer 近似の曲面 $E_0(\bm{R})$ の2階微分と読む：

$$E_0(\bm{R}_0+\bm{u})\approx E_0(\bm{R}_0)+\frac12\sum_{I,J}\sum_{\alpha,\beta}\frac{\partial^2E_0}{\partial R_{I\alpha}\partial R_{J\beta}}\Big|_{\bm{R}_0}u_{I\alpha}u_{J\beta}.\tag{1.1.14}$$

1次の項は平衡位置で消える。ばねの定数は電子の基底状態のエネルギーが原子の位置にどう依るかで決まり、模型の外から与えるパラメータではない。

Heisenberg 模型

磁性の授業は、Heisenberg 模型 $J\sum\hat{\bm{S}}_j\cdot\hat{\bm{S}}_l$ を出発点として置き、$J$ を「交換相互作用」と呼ぶ。この巻では、これを Hubbard 模型の $t/U\to0$ の極限（式 (1.1.9)）と読み、$J$ の起源をホッピングと斥力の比で表す。$J$ の符号と大きさを決める仕組み（直接交換・超交換）は第5部第2章で扱う。

対応をまとめると次のようになる。