この章のまとめ

(1) $780\,\mathrm{nm}$ では $x=hc/(\lambda k_{\mathrm B} T)\approx61.5$、$1064\,\mathrm{nm}$ では $x\approx45.1$ で、熱の光子数はそれぞれ $\mathrm{e}^{-61.5}\approx2\times10^{-27}$、$\mathrm{e}^{-45.1}\approx2.6\times10^{-20}$ である。原子は基底状態 $| g \rangle$ にあり（$P_e/P_g$ も同じ $\mathrm{e}^{-61.5}$）、レーザーのモード以外の光は熱の光子として事実上存在しない。以下では原子を $| g \rangle$ から出発させ、光はレーザーの古典の電場だけとする。

(2) $\omega_0=2\pi c/\lambda_0\approx2.415\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$、$d\approx2.120\times10^{-29}\,\mathrm{C\,m}$ を式 (1.10) に入れると$f=2\times9.109\times10^{-31}\times2.415\times10^{15}\times(2.120\times10^{-29})^2/(1.0546\times10^{-34}\times(1.602\times10^{-19})^2)\approx0.730$ である。総和則の上限 $1$ の約 $73\%$ をこの1つの遷移が持つ。原子の最も外の電子1個の応答がほぼこの遷移で決まるので、2準位系に縮めるモデルの出発点として妥当である。

(3) $I=2/(\pi\times10^{-10})\approx6.37\times10^9\,\mathrm{W\,m^{-2}}$、$E_0=\sqrt{2I/(c\varepsilon_0)}\approx2.19\times10^6\,\mathrm{V\,m^{-1}}$、$\Omega=dE_0/\hbar\approx4.40\times10^{11}\,\mathrm{s^{-1}}$ で、$\Omega/\omega_0\approx1.8\times10^{-4}$ である。$\omega_{\mathrm L}=2\pi c/\lambda_{\mathrm L}\approx1.770\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$ なので $\Delta=\omega_{\mathrm L}-\omega_0\approx-6.45\times10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$、$\Delta/\omega_0=780/1064-1\approx-0.267$ である（赤い離調）。

(4) $U_{\mathrm{RWA}}=\hbar\Omega^2/(4\Delta)=1.0546\times10^{-34}\times(4.40\times10^{11})^2/(4\times(-6.45\times10^{14}))\approx-7.93\times10^{-27}\,\mathrm J$、$U_{\mathrm{RWA}}/ k_{\mathrm B}\approx-0.574\,\mathrm{mK}$。反共鳴の項を残すと $\alpha=2\omega_0d^2/[\hbar(\omega_0^2-\omega_{\mathrm L}^2)]$ で、$U=-\frac14\alpha E_0^2=-\frac{\hbar\Omega^2}{4}\cdot\frac{2\omega_0}{\omega_0^2-\omega_{\mathrm L}^2}\approx-9.15\times10^{-27}\,\mathrm J$、$U/ k_{\mathrm B}\approx-0.662\,\mathrm{mK}$ である。比は

$$\frac{U}{U_{\mathrm{RWA}}}=\frac{2\omega_0}{\omega_0+\omega_{\mathrm L}}=\frac{2}{1+\lambda_0/\lambda_{\mathrm L}}\approx1.154$$

で、回転波近似は捕獲の深さを $15\%$ 浅く見積もる。$\Omega/\omega_0$ は $10^{-4}$ の桁で小さいが、この場合の小さいパラメータは $\Omega/\omega_0$ でなく反共鳴の項と共鳴の項の比 $\lvert \Delta\rvert /(\omega_0+\omega_{\mathrm L})=0.154$ で、これが小さくないので誤差が大きくなる。離調が光の周波数の $27\%$ もある遠く離れた光では、回転波近似は双極子力の大きさを正しく与えない。捕獲の深さ $0.66\,\mathrm{mK}$ は室温の $k_{\mathrm B} T$ よりずっと小さいので、この光では、あらかじめ $\mathrm{mK}$ より低い温度まで冷やした原子しか捕まえることができない（レーザー冷却は 第26章）。

(5) $\alpha=2\omega_0d^2/[\hbar(\omega_0^2-\omega_{\mathrm L}^2)]\approx7.63\times10^{-39}\,\mathrm{C\,m^2\,V^{-1}}$、$n-1\approx N\alpha/(2\varepsilon_0)=10^{18}\times7.63\times10^{-39}/(2\times8.854\times10^{-12})\approx4.3\times10^{-10}$ である。$\alpha>0$ なので $n>1$ で、(4) の $U<0$（光の強い所へ引き寄せられる）と同じ $\alpha$ の符号から決まる。$n-1$ が非常に小さいのは気体が希薄だからで、同じ $\alpha$ でも原子1個に働く力は強度 $6\times10^{9}\,\mathrm{W\,m^{-2}}$ まで集光することによって mK の深さになる。