この章のまとめ

(1) 状態を (g, e) の順に並べ、列を「移る前」とする。$K_{\mathrm h}=\begin{pmatrix}1/2&1\\1/2&0\end{pmatrix}$、$K_{\mathrm c}=\begin{pmatrix}3/4&1\\1/4&0\end{pmatrix}$ で、1周期は

$$K_{\mathrm c}K_{\mathrm h}=\begin{pmatrix}7/8&3/4\\1/8&1/4\end{pmatrix}.$$

定常分布は $\pi(\mathrm e)=\frac18\pi(\mathrm g)+\frac14\pi(\mathrm e)$ から $\pi(\mathrm g)=6\pi(\mathrm e)$、$\pi=(\frac67,\frac17)$。熱い熱浴の後は $K_{\mathrm h}\pi=(\frac67\cdot\frac12+\frac17,\ \frac67\cdot\frac12)=(\frac47,\frac37)$。冷たい熱浴の後は $\pi$ に戻る。1周期の行列は詳細つり合いを満たす Gibbs 分布を持たないが、第1部第4章の H 定理により、どこから始めても $D(p\,\|\,\pi)$ が減って $\pi$ に近づく。

(2) 熱い熱浴に触れるあいだに e にいる確率が $\frac17$ から $\frac37$ に増えるので、$\langle Q_{\mathrm h} \rangle =\varepsilon \bigl(\frac37-\frac17\bigr)=\frac27\varepsilon$。冷たい熱浴では $\frac37$ から $\frac17$ に戻るので $\langle Q_{\mathrm c} \rangle =-\frac27\varepsilon$。1周期で系のエネルギーは戻り、熱 $\frac27\varepsilon$ が熱い熱浴から冷たい熱浴へ運ばれる。

(3) $K_{\mathrm h}(\mathrm e\,|\,\mathrm e)=K_{\mathrm c}(\mathrm e\,|\,\mathrm e)=0$ なので、e から e へ続けてとどまる経路は確率 $0$ で、残りは5本である。g を 0、e を 1 と書き、$Q_{\mathrm h}=\varepsilon (x_1-x_0)$、$Q_{\mathrm c}=\varepsilon (x_2-x_1)$ とする。

$$\begin{array}{cccc} \text{経路} & P & \text{熱の項 }-\beta_{\mathrm h}Q_{\mathrm h}-\beta_{\mathrm c}Q_{\mathrm c} & \Sigma\\\hline (0,0,0) & \frac67\cdot\frac12\cdot\frac34=\frac9{28} & 0 & 0\\ (0,0,1) & \frac67\cdot\frac12\cdot\frac14=\frac3{28} & -\ln4 & \ln6-\ln4=\ln\frac32\\ (0,1,0) & \frac67\cdot\frac12\cdot1=\frac{12}{28} & -\ln2+\ln4 & \ln2\\ (1,0,0) & \frac17\cdot1\cdot\frac34=\frac3{28} & +\ln2 & -\ln6+\ln2=-\ln3\\ (1,0,1) & \frac17\cdot1\cdot\frac14=\frac1{28} & \ln2-\ln4 & -\ln2 \end{array}$$

（$(0,0,1)$ の $\ln\frac{\pi(0)}{\pi(1)}=\ln6$、$(1,0,0)$ の $\ln\frac{\pi(1)}{\pi(0)}=-\ln6$。）逆回しの確率 $\tilde P=\pi(x_2)K_{\mathrm c}(x_1\,|\,x_2)K_{\mathrm h}(x_0\,|\,x_1)$ で $\ln(P/\tilde P)$ を直接計算しても、同じ $\Sigma$ になる（局所詳細つり合いがそれぞれの熱浴で成り立つため）。平均は

$$\langle \Sigma \rangle =\frac3{28}\ln\frac32+\frac{12}{28}\ln2-\frac3{28}\ln3-\frac1{28}\ln2=\frac{-3+12-1}{28}\ln2=\frac27\ln2\approx0.1980 .$$

一方 $(\beta_{\mathrm c}-\beta_{\mathrm h})\langle Q_{\mathrm h} \rangle =\frac{\ln4-\ln2}{\varepsilon }\cdot\frac27\varepsilon =\frac27\ln2$ で一致する。定常状態では系のエントロピーが1周期で戻るので、エントロピー生成は2つの熱浴のエントロピーの変化 $-\beta_{\mathrm h}\langle Q_{\mathrm h} \rangle -\beta_{\mathrm c}\langle Q_{\mathrm c} \rangle$ だけになる。これは 4.3.5 節の「流れ×親和力」で、流れが運ばれた熱 $\langle Q_{\mathrm h} \rangle /\varepsilon$、親和力が $(\beta_{\mathrm c}-\beta_{\mathrm h})\varepsilon =\ln2$ である。

(4) $\langle \mathrm{e}^{-\Sigma} \rangle =\frac9{28}\cdot1+\frac3{28}\cdot\frac23+\frac{12}{28}\cdot\frac12+\frac3{28}\cdot3+\frac1{28}\cdot2=\frac{9+2+6+9+2}{28}=1$。$P$ が $0$ の経路（e に続けてとどまるもの）は $\tilde P$ でも $0$ なので、式 (4.3.9) が等号で成り立つ。$\Sigma<0$ の経路は $(1,0,0)$ と $(1,0,1)$ で、$\Pr(\Sigma<0)=\frac4{28}=\frac17$。e から出発して熱い熱浴に熱を返し、冷たい熱浴から熱をもらう経路で、熱が冷たい方から熱い方へ運ばれている。

(5) $\beta_{\mathrm h}\varepsilon =\ln2$ と $\beta_{\mathrm c}\varepsilon =\ln4=2\ln2$ から $T_{\mathrm h}=2T_{\mathrm c}=600\,\mathrm K$。$\varepsilon = k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\ln4=1.380649\times10^{-23}\times300\times1.3863=5.74\times10^{-21}\,\mathrm J$、$\langle Q_{\mathrm h} \rangle =\frac27\varepsilon =1.64\times10^{-21}\,\mathrm J$。$k_{\mathrm B}\langle \Sigma \rangle =1.380649\times10^{-23}\times0.1980=2.73\times10^{-24}\,\mathrm{J/K}$ で、$\langle Q_{\mathrm h} \rangle \bigl(\frac1{300}-\frac1{600}\bigr)=1.64\times10^{-21}/600=2.73\times10^{-24}\,\mathrm{J/K}$ と一致する。これは熱伝導の Clausius の形（4.3.6 節の例題）そのものである。2つの熱浴の温度が等しければ、$K_{\mathrm h}=K_{\mathrm c}$ はどちらも同じ Gibbs 分布について詳細つり合いを満たし、定常分布はその Gibbs 分布になる。そのとき各刻みで流れが釣り合い（式 (4.3.20) の等号の条件）、すべての経路で $P=\tilde P$ となって $\langle \Sigma \rangle =0$ である。