この章のまとめ

(1) 散乱の速さは $s\to\infty$ で最大 $\Gamma/2=1.91\times10^{7}\,\mathrm{s^{-1}}$ になる（第25章）。減速度は $a_{\max}=\hbar k\Gamma/(2m)=1.12\times10^{5}\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ で、26.1 の例題と同じである。

(2) 減速度 $a=a_{\max}/2$ で止まるまでの長さは $L=v_0^2/(2a)=v_0^2/a_{\max}=0.802\,\mathrm m$ である。一定の減速度なので、位置 $z$ での速さは $v(z)=v_0\sqrt{1-z/L}$ である。原子は正面から来る光（$-z$ 向き）を吸収するので、原子が見る離調は $\Delta+kv(z)$ である。$\Delta m=+1$ の遷移を使うと、磁場 $B$ で遷移周波数が $\mu_{\mathrm B}B/\hbar$ だけ上がるので、共鳴の条件は

$$\Delta+kv(z)-\frac{\mu_{\mathrm B}B(z)}{\hbar}=0$$

である。$z=L$ で $v=0$, $B=0$ とするには $\Delta=0$ を選べばよく、

$$B(z)=\frac{\hbar kv_0}{\mu_{\mathrm B}}\sqrt{1-\frac zL}=B_0\sqrt{1-\frac zL},\qquad B_0=\frac{hv_0}{\lambda\mu_{\mathrm B}}=27.5\,\mathrm{mT}$$

となる。実際の装置では、減速器の出口の原子が磁気光学トラップの光と共鳴しないよう、離調と磁場の向きを変えて磁場の形に一定の値を足すが、根の形は同じである。

(3) 26.5 の例題から $\eta=1.52\times10^{-21}\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$, $\kappa=1.66\times10^{-18}\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ で、過減衰である。過減衰が強い（$\eta^2\gg4m\kappa$）とき、$m\ddot x$ を無視した $\eta\dot x=-\kappa x$ が遅い運動を表し、緩和の時間は $\eta/\kappa=0.916\,\mathrm{ms}$ である。ここでは $\eta^2/(4m\kappa)=2.4$ なので無視は粗く、$x\propto\mathrm{e}^{-rt}$ とおいた特性方程式 $mr^2-\eta r+\kappa=0$ の小さいほうの根を正確に解くと $r=\frac{\eta}{2m}\bigl(1-\sqrt{1-4m\kappa/\eta^2}\bigr)=1.24\times10^{3}\,\mathrm{s^{-1}}$、時間は $0.808\,\mathrm{ms}$ になる。

(4) 26.5 の例題の (3) と同じで、$T=\frac{3}{2}T_{\mathrm D}=218\,\mu\mathrm K$、広がり $\sqrt{ k_{\mathrm B} T/\kappa}=43\,\mu\mathrm m$ である。この温度は、強い光（$s=1$）と大きめの離調のため Doppler 限界の $1.5$ 倍になっている。

(5) 26.4 の例題から $U_0/ k_{\mathrm B}=4.85\,\mu\mathrm K$ である。式 (26.16) で、この温度では$\sigma=\sqrt{(1.00\times10^{-3})^2+( k_{\mathrm B}\times4.85\times10^{-6}/m)(10^{-2})^2}=1.02\,\mathrm{mm}$、$218\,\mu\mathrm K$ のままなら $1.76\,\mathrm{mm}$ である。偏光勾配冷却をした雲は $10\,\mathrm{ms}$ の間ほとんど広がらず、Doppler 冷却だけの雲は面積で約3倍に広がる。原子時計や原子干渉計で観測の時間を長く取れるかどうかは、この差で決まる。