出てくるもの（1）：Doppler 冷却と Doppler 限界

光学と量子エレクトロニクス　第26章 §26.2　★★★ 摩擦は運動エネルギーを奪い、光子の吸収と放出のでたらめな反跳は加熱する。両者のつり合いの温度は $k_{\mathrm B} T=D_p/\eta$ で、最も低くなる $\Delta=-\Gamma/2$ で $\hbar\Gamma/2$ になる

摩擦だけなら温度は0になる

式 (26.4) の摩擦だけが働くなら、運動方程式 $m\dot v=-\eta v$ から速度は $\mathrm{e}^{-\eta t/m}$ で減り、原子はいずれ止まる。減衰の速さ $\eta/m$ は、$\Delta=-\Gamma$, $s=1$ の ${}^{87}\mathrm{Rb}$ で $1.05\times10^{4}\,\mathrm{s^{-1}}$ で、およそ $0.1\,\mathrm{ms}$ で速度が $1/\mathrm{e}$ になる。しかし散乱は1個ずつの光子の吸収と放出でできているので、平均の力のまわりに必ず揺らぎがある。この揺らぎが温度の下限を決める。

反跳による加熱

$v=0$ の原子を考える。散乱は2本の光から同じ速さ $\Gamma_{\mathrm{sc}}(\Delta)$ で起こり、合わせて $2\Gamma_{\mathrm{sc}}$ の速さで起こる。1回の散乱は2回の運動量の蹴りを含む。1回目は吸収で、どちらの光から吸収したかによって $+\hbar k$ か $-\hbar k$ になる。2回目は自然放出で、この節では1次元の模型として、放出の向きも $\pm x$ のどちらかが等しい確率で選ばれるとする。蹴りどうしは互いに独立なので、運動量の分散は蹴りの回数に比例して増える（酔歩）。1回の蹴りの分散は $(\hbar k)^2$ で、1回の散乱で2回蹴られるので、

$$\left.\frac{\mathrm{d} \langle p^2 \rangle }{\mathrm{d} t}\right|_{\text{加熱}}=2\Gamma_{\mathrm{sc}}\times2(\hbar k)^2\equiv2D_p,\qquad D_p=2(\hbar k)^2\Gamma_{\mathrm{sc}}(\Delta)\tag{26.5}$$

となる。$D_p$ を運動量の拡散係数と呼ぶ。分散の増え方を $2D_p$ と書くのは、拡散方程式の慣例に合わせたためである。

つり合いの温度

摩擦は $\frac{\mathrm{d} \langle p^2 \rangle }{\mathrm{d} t}=2\langle pF \rangle =-\frac{2\eta}{m}\langle p^2 \rangle$ の割合で運動量の分散を減らす。加熱と合わせると

$$\frac{\mathrm{d} \langle p^2 \rangle }{\mathrm{d} t}=-\frac{2\eta}{m}\langle p^2 \rangle +2D_p\tag{26.6}$$

で、定常状態では $\langle p^2 \rangle =mD_p/\eta$ になる。1次元の等分配 $\langle p^2 \rangle /(2m)= k_{\mathrm B} T/2$ で温度を定義すると、

$$k_{\mathrm B} T=\frac{D_p}{\eta}\tag{26.7}$$

を得る。揺らぎ（$D_p$）と散逸（$\eta$）の比が温度になるという形は、Brown 運動の Einstein の関係と同じで、26.6節でもう一度並べる。式 (26.1), (26.4), (26.5) を入れると、$\hbar k^2$ と $s$ が分子と分母で打ち消し合って

$$k_{\mathrm B} T=\frac{\hbar\Gamma}{4}\,\frac{1+s+(2\Delta/\Gamma)^2}{2\lvert \Delta\rvert /\Gamma}\qquad(\Delta<0)\tag{26.8}$$

が残る。

証明

$x=2\lvert \Delta\rvert /\Gamma>0$ とおくと、$s\to0$ で $k_{\mathrm B} T=\frac{\hbar\Gamma}{4}\,\frac{1+x^2}{x}=\frac{\hbar\Gamma}{4}\bigl(x+\frac1x\bigr)$ である。相加平均と相乗平均の不等式から $x+1/x\ge2$ で、等号は $x=1$、すなわち $\lvert \Delta\rvert =\Gamma/2$ のときに限る。このとき $k_{\mathrm B} T=\hbar\Gamma/2$ となる。

Doppler 限界は、光の波長にも原子の質量にもよらず、励起状態の寿命だけで決まる。摩擦係数も拡散係数も $\hbar k^2$ に比例し、その比を取ると $k$ が消えるからである。最小になる離調が $-\Gamma/2$ である理由は、次の兼ね合いにある。離調が小さすぎると、Doppler のずれで散乱の速さがほとんど変わらず（共鳴の頂上は平らで）摩擦が弱い。離調が大きすぎると、共鳴の裾にいて散乱そのものが減る。散乱の速さの傾きと散乱の速さそのものの比 $\Gamma_{\mathrm{sc}}'/\Gamma_{\mathrm{sc}}$ が最大になるのが、Lorentz 形の半値の点 $\lvert \Delta\rvert =\Gamma/2$ である。光を強くする（$s$ を大きくする）と、飽和で摩擦が弱まる一方で加熱は減らないので、温度は上がる（図 26.2）。