授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第26章 §26.6　★★ 学部の電磁気学の放射圧、Brown 運動の Langevin 方程式と Einstein の関係、力学の減衰振動が、それぞれ散乱力・Doppler 限界・磁気光学トラップの式になる

放射圧

学部の電磁気学では、物体に吸収される光は、吸収された電力 $P_{\mathrm{abs}}$ を光速で割った力 $P_{\mathrm{abs}}/c$ を及ぼすと習う。断面積 $\sigma_{\mathrm{abs}}$ の物体なら $P_{\mathrm{abs}}=\sigma_{\mathrm{abs}}I$ で、

$$F=\frac{\sigma_{\mathrm{abs}}I}{c}\tag{26.17}$$

である。散乱力 (26.2) を $\hbar k\Gamma_{\mathrm{sc}}=\hbar\omega_{\mathrm L}\Gamma_{\mathrm{sc}}/c$ と書き直すと、$\hbar\omega_{\mathrm L}\Gamma_{\mathrm{sc}}$ は原子が吸収する電力なので、原子の吸収断面積を $\sigma_{\mathrm{abs}}=\hbar\omega_{\mathrm L}\Gamma_{\mathrm{sc}}/I$ とおけば同じ式になる。2つの違いは断面積の中身だけで、原子では断面積が離調と強さで変わり、強い光では飽和して $\sigma_{\mathrm{abs}}\propto1/I$ になる。放射圧の式には光の周波数が入らないので、動く物体に対する力の速度依存性は、Doppler のずれで断面積が変わることを通してしか入らない。この章の冷却は、その速度依存性が原子の狭い共鳴で大きくなることに頼っている。

Langevin 方程式と Einstein の関係

Brown 運動の授業では、液体の中の微粒子の運動を Langevin 方程式

$$m\dot v=-\eta v+\xi(t),\qquad \langle \xi(t)\xi(t') \rangle =2D_p\,\delta(t-t')\tag{26.18}$$

で書く。$\xi(t)$ は液体の分子からのでたらめな力である。この式から $\langle p^2 \rangle$ の方程式を作ると式 (26.6) になり、定常状態で $k_{\mathrm B} T=D_p/\eta$ が出る。液体の場合は温度 $T$ が先に与えられていて、この関係は「摩擦と揺らぎは温度で結びついている」（揺動散逸の関係、空間の拡散係数で書くと Einstein の関係 $D= k_{\mathrm B} T/\eta$）と読む。レーザー冷却では逆に、$\eta$ と $D_p$ が光と原子の結合から別々に決まり、その比として温度が決まる。原子は液体の分子でなく光子と熱をやり取りしていて、光子の場が温度 $T_{\mathrm D}$ の熱浴の役を果たしている。ただし熱浴とは違い、この「浴」の温度は離調と強さで変えられる。

減衰振動

力学で習う減衰振動 $m\ddot x+\eta\dot x+\kappa x=0$ の解は、$\eta^2<4m\kappa$ で振動しながら減衰し、$\eta^2>4m\kappa$ で振動せずに減衰する（過減衰）。磁気光学トラップの式 (26.15) はその後者で、ばねの役を Zeeman のずれが、ダンパーの役を Doppler のずれが果たしている。どちらも同じ関数 $\Gamma_{\mathrm{sc}}$ の傾きから出るので、$\kappa/\eta=\mu_{\mathrm{eff}}b/(\hbar k)$ のように、2つの係数の比は光の強さと離調によらず、磁場の勾配と波数だけで決まる。