当てる道具：位相の Noether の流れと Lorentz 不変性

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第4章 §5.4.2　★★★ 位相の対称性の Noether の流れ $j^\mu=\mathrm{i}(\phi^*\partial^\mu\phi-\phi\,\partial^\mu\phi^*)$ は保存するが、$j^0$ は正にも負にもなる。確率密度にはならない

位相の対称性の流れ

第2部第7章の場の Noether の定理は、$\mathcal L$ が場の無限小変換 $\delta\phi=\epsilon K$ で変わらないとき、流れ $j^\mu=\sum\partial\mathcal L/\partial(\partial_\mu\phi_a)\,K_a$ が $\partial_\mu j^\mu=0$ を満たすことを述べる。位相の取り替えの無限小形は $\delta\phi=-\mathrm{i}\epsilon\phi$、$\delta\phi^*=\mathrm{i}\epsilon\phi^*$ である。$\partial\mathcal L_{\mathrm{KG}}/\partial(\partial_\mu\phi)=\partial^\mu\phi^*$、$\partial\mathcal L_{\mathrm{KG}}/\partial(\partial_\mu\phi^*)=\partial^\mu\phi$ なので、全体の符号を正の振動数で $j^0>0$ となるように選ぶと

$$j^\mu=\mathrm{i}\bigl(\phi^*\partial^\mu\phi-\phi\,\partial^\mu\phi^*\bigr),\qquad \partial_\mu j^\mu=0\tag{5.4.7}$$

である。保存は式 (5.4.3) を使って直接確かめることもできる。$\partial_\mu j^\mu=\mathrm{i}(\phi^*\Box\phi-\phi\,\Box\phi^*)=\mathrm{i}(-m^2\phi^*\phi+m^2\phi\phi^*)=0$ である。

成分で書くと

$$j^0=\mathrm{i}\bigl(\phi^*\partial_t\phi-\phi\,\partial_t\phi^*\bigr),\qquad \bm{j}=-\mathrm{i}\bigl(\phi^*\nabla\phi-\phi\nabla\phi^*\bigr)\tag{5.4.8}$$

である。$\bm{j}$ は Schrödinger 方程式の確率の流れ $\frac{1}{2m\mathrm{i}}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)$ の $2m$ 倍と同じ形をしている。違いは $j^0$ で、Schrödinger 方程式では $\lvert \psi\rvert ^2$ だったものが、時間微分を含む式になっている。

平面波 $\phi=N\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(Et-\bm{p}\cdot\bm{x})}$ を入れると $\partial_t\phi=-\mathrm{i} E\phi$ なので

$$j^0=2E\lvert N\rvert ^2\tag{5.4.9}$$

になる。$E=+\omega_{\bm{p}}$ なら正、$E=-\omega_{\bm{p}}$ なら負である。したがって $j^0$ は確率密度として読むことができない。

Lorentz 不変性がこの形を強いる理由

$j^0$ に時間微分が入るのは偶然ではない。保存則 $\partial_\mu j^\mu=0$ が座標系によらず成り立つためには、$j^\mu$ は4元ベクトルでなければならない。$\phi$ がスカラーの場の場合、$\phi$ と $\phi^*$ から微分なしで作ることができるのはスカラー $\phi^*\phi$ だけで、4元ベクトルの添字 $\mu$ を持たせるには$\partial^\mu$ を1つ入れるしかない。その第0成分は必ず $\partial_t$ を含み、$\partial_t\phi$ は $\phi$ と独立に与えることができる初期条件なので、$j^0$ の符号を決めることはできない。Schrödinger 方程式の $\lvert \psi\rvert ^2$ が密度になったのは、Galilei 変換では $\lvert \psi\rvert ^2$ がそのまま密度として変換されるからで、Lorentz 変換ではこの組み立てが通らない。

エネルギーは正、電荷は正負

同じ $\mathcal L_{\mathrm{KG}}$ の時間並進の Noether の保存量（第2部第7章のエネルギー運動量テンソルの $T^{00}$）を計算すると、$\pi=\partial\mathcal L/\partial(\partial_t\phi)=\partial_t\phi^*$、$\pi^*=\partial_t\phi$ として

$$T^{00}=\pi\,\partial_t\phi+\pi^*\partial_t\phi^*-\mathcal L_{\mathrm{KG}}=\lvert \partial_t\phi\rvert ^2+\lvert \nabla\phi\rvert ^2+m^2\lvert \phi\rvert ^2\ \ge0\tag{5.4.10}$$

である。場のエネルギーは正だが、位相の対称性の保存量 $Q=\int j^0\,\mathrm{d}^3x$ は正にも負にもなる。この組み合わせは、$Q$ を確率でなく電荷として読めば矛盾しない。電荷は正にも負にもなる量だからである。複素場に電磁場を結合させると（5.4.4節）、$qj^\mu$ が電流になる。次の例題で、正と負の振動数の重ね合わせについてこの2つを計算する。