この章のまとめ

(1) (4.4.22) から $\Omega=\Delta p/(m\sigma_0)=3\hbar/(2m\sigma_0^2)$、$\tanh(\beta'\hbar\Omega/2)=\tfrac13$。$q=(1-\mu)/(1+\mu)=\tfrac12$ なので $\beta'\hbar\Omega=\ln2$。(4.4.20) は $\coth(\ln2/2)=(1+q)/(1-q)=3$ を使って $\langle \hat x^2 \rangle _{\beta'}=3\hbar/(2m\Omega)=3\hbar\cdot2m\sigma_0^2/(2m\cdot3\hbar)=\sigma_0^2$ で一致する。$Z=1/(2\sinh(\ln2/2))=1/(\sqrt2-1/\sqrt2)=\sqrt2$。

(2) 固有値は $(1-q)q^n=2^{-(n+1)}$、$\bar n=q/(1-q)=1$、$S(\hat\rho)=2\ln2=1.386$（例題 4.4.3 と同じ）。$\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat H_\Omega)=\hbar\Omega(\bar n+\tfrac12)=\tfrac32\hbar\Omega$ で、直接 $\Delta p^2/(2m)+m\Omega^2\sigma_0^2/2=\tfrac34\hbar\Omega+\tfrac34\hbar\Omega$ と計算しても同じである。第4部第2章の浄化 $\psi(x)\chi(y)\mathrm{e}^{\mathrm{i} gxy/\hbar}$ の Schmidt 係数の2乗はこの固有値なので、もつれのエントロピーも $2\ln2$ で、第4部第2章の $\mu=\tfrac13$ の数値の結果（第4部第2章の Schmidt 係数の図）と一致する。

(3) (4.4.26) で $\omega\to\Omega$、$\tanh(\beta'\hbar\Omega/2)=\tfrac13$ として

$$W(x,p)=\frac{1}{3\pi\hbar}\exp\Big(-\frac{2}{3\hbar\Omega}\Big(\frac{p^2}{2m}+\frac{m\Omega^2x^2}{2}\Big)\Big)=\frac{1}{3\pi\hbar}\exp\Big(-\frac{x^2}{2\sigma_0^2}-\frac{p^2}{2\Delta p^2}\Big).$$

2つ目の形は $m\Omega/(3\hbar)=1/(2\sigma_0^2)$、$1/(3m\hbar\Omega)=1/(2\Delta p^2)$ から出る。$W$ は位置 $\sigma_0$・運動量 $\Delta p$ の独立な Gauss 分布で、どこでも正である。$W(0,0)=1/(3\pi\hbar)=\mu/(\pi\hbar)$ で、原点での値の $\pi\hbar$ 倍が純粋度に等しい（Gauss 型の $W$ では $\operatorname{Tr}\hat\rho^2=2\pi\hbar\int W^2\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p$ が $\pi\hbar\,W(0,0)$ になる）。

(4) 熱浴の状態は $q_{\mathrm b}=\mathrm{e}^{-\ln3}=\tfrac13$ の熱平衡 $\hat\rho_\beta$ で、初めの状態 $\hat\rho$（$q=\tfrac12$）と同じ $\hat H_\Omega$ の固有基底で対角である。$D$ は固有値の分布の古典の相対エントロピーになり

$$D(\hat\rho\,\|\,\hat\rho_\beta)=\sum_n(1-q)q^n\ln\frac{(1-q)q^n}{(1-q_{\mathrm b})q_{\mathrm b}^n}=\ln\frac{1-q}{1-q_{\mathrm b}}+\bar n\ln\frac q{q_{\mathrm b}}=\ln\frac34+\ln\frac32=\ln\frac98=0.118.$$

(4.4.9) から $F[\hat\rho]-F= k_{\mathrm B} T\ln(9/8)=0.118\, k_{\mathrm B} T$。別の道で、$D=-S(\hat\rho)+\beta\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat H_\Omega)+\ln Z_\beta=-2\ln2+\tfrac32\ln3+\ln(\sqrt3/2)=-1.386+1.648-0.144=0.118$ でも同じ値になる。(1) の補助の温度で読めば熱平衡だった状態も、より冷たい熱浴の前では自由エネルギーの余りを持ち、その量が $D$ で測られる。

(5) 自由粒子の Heisenberg 描像 $\hat x_{\mathrm H}(t)=\hat x+\hat pt/m$ から、第4部第2章の広がりの式のとおり$\sigma(t)^2=\sigma_0^2+(\Delta p\,t/m)^2=\sigma_0^2(1+\Omega^2t^2)$（$\Delta p/m=\Omega\sigma_0$）。(D3) により $\hat\rho(t)=\hat U(t)\hat\rho\hat U(t)^\dagger$ で、ユニタリな変換は固有値を変えないので $S(\hat\rho(t))=2\ln2$ のまま一定である。$\hat\rho(t)$ は $\mathrm{e}^{-\beta'\hat U\hat H_\Omega\hat U^\dagger}/Z$ と書けるので、時間発展させたハミルトニアン $\hat U(t)\hat H_\Omega\hat U(t)^\dagger$（モジュラー・ハミルトニアンを $\beta'$ で割ったもの）の同じ逆温度 $\beta'$ での熱平衡と読むことができる。$\hat U\hat H_\Omega\hat U^\dagger$ は $\hat x$ と $\hat p$ の2次式で $\hat x\hat p+\hat p\hat x$ の項を持ち、位置と運動量の相関が生まれることを表す。自由粒子の $\hat p^2/(2m)$ そのものの熱平衡は存在しない（第4.4.1節）ので、$\hat\rho(t)$ はどの時刻でも、粒子の本当のハミルトニアンの熱平衡ではない。