この章のまとめ

(1) $p=\partial L/\partial\dot q=\dfrac{m\dot q}{\sqrt{1-\dot q^2/c^2}}$。もう一度微分すると $\partial^2L/\partial\dot q^2=m\,(1-\dot q^2/c^2)^{-3/2}>0$ で、$L$ は $\dot q$ について狭義に下に凸である。$p$ は $\dot q$ の増加関数で、$\dot q\to\pm c$ で $\pm\infty$ に向かうので、$p$ は実数全体を動く。$p^2(1-\dot q^2/c^2)=m^2\dot q^2$ を解いて

$$\dot q=\frac{pc}{\sqrt{p^2+m^2c^2}}=\frac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}} .$$

(2) $\sqrt{1-\dot q^2/c^2}=mc/\sqrt{p^2+m^2c^2}$ を使って

$$H=p\dot q-L=\frac{p^2c^2}{\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}}+\frac{m^2c^4}{\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}}+\frac12kq^2=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}+\frac12kq^2 .$$

$\frac12kq^2$ は $\dot q$ を含まないので、符号を変えて $H$ に移った（取り替えない変数 $q$ の項）。

(3) $q$ を止めて $h(p)=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$ の部分について $\sup_p[vp-h(p)]$ を調べる。$h'(p)=pc^2/h(p)$ は $(-c,c)$ を動くので、$\lvert v\rvert <c$ なら $h'(p)=v$ の解$p=mv/\sqrt{1-v^2/c^2}$ がただ1つあり、そこでの値は $vp-h=\frac{mv^2-mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}$。$-\frac12kq^2$ を戻すと $L$ に一致する。$\lvert v\rvert >c$ では、$p\to\pm\infty$（$v$ と同符号）で $vp-h(p)\approx(\lvert v\rvert -c)\lvert p\rvert \to+\infty$ なので上限は $+\infty$。$H$ を変換し直すと $L$ の定義域 $\lvert v\rvert <c$ まで戻ってくる（$\lvert v\rvert =c$ では $\sup=0$ で、$L$ を端まで連続に延ばした値に一致する）。

(4) $mc^2$ を単位とする。$\dot q=0.6c$ では $\sqrt{1-0.36}=0.8$ なので $L+\frac12kq^2=-0.8$。$p=mc$ では $h=\sqrt2\,mc^2\approx1.414$。左辺 $p\dot q=0.6$、右辺 $L+H=-0.8+1.414=0.614$ で、$0.6<0.614$。等号の $p$ は (1) より $p=m(0.6c)/0.8=0.75mc$。そのとき左辺 $0.75\times0.6=0.45$、右辺 $-0.8+\sqrt{0.75^2+1}=-0.8+1.25=0.45$ で等しい。

(5) 式 (1.7.11) から

$$\dot q=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}},\qquad \dot p=-\frac{\partial H}{\partial q}=-kq .$$

1つ目は (1) の $\dot q(p)$ と同じで、2つ目は Euler–Lagrange 方程式 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot q}=\frac{\partial L}{\partial q}=-kq$ と同じである。$H$ は $t$ を含まないので $\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial H}{\partial q}\dot q+\frac{\partial H}{\partial p}\dot p=\frac{\partial H}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}=0$。

(6) 折り返し点 $q=\pm A$ では $\dot q=0$、$p=0$ なので $H=mc^2+\frac12kA^2$。速さが最大になる $q=0$ では $H=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}=\gamma mc^2$（$\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$）なので

$$\gamma_{\max}=1+\frac{kA^2}{2mc^2},\qquad v_{\max}=c\sqrt{1-\frac{1}{\gamma_{\max}^2}} .$$

$kA^2=4mc^2$ では $\gamma_{\max}=3$、$v_{\max}=c\sqrt{8/9}=\frac{2\sqrt2}{3}c\approx0.943c$ で、光速を超えない。$\lvert \dot q\rvert \ll c$ では $-mc^2\sqrt{1-\dot q^2/c^2}=-mc^2+\frac12m\dot q^2+\mathcal{O}(\dot q^4/c^2)$ で、定数 $-mc^2$ を除くと $L=\frac12m\dot q^2-\frac12kq^2$（$L=T-V$ の形）になる。これで計算すると $\frac12mv_{\max}^2=\frac12kA^2$ から $v_{\max}=A\sqrt{k/m}=2c$ となり、光速を超える。振幅が大きい振動では、展開を打ち切った $L$ を使うことはできない。相対論的な $L$ では $p$ がいくら大きくなっても $\dot q=\partial H/\partial p$ が $c$ を超えないことが、(3) で見た「$H$ の傾きの上限が $c$」という性質として現れている。