この章のまとめ

(1) Lorentz の (13.5) で $\omega_0\to0$ とすると (13.3) で、$\omega_{\mathrm p}=\sqrt{n_{\mathrm e}e^2/(\varepsilon_0m)}=2.40\times10^{16}\,\mathrm{s^{-1}}$、$\hbar\omega_{\mathrm p}=15.8\,\mathrm{eV}$、$\lambda_{\mathrm p}=2\pi c/\omega_{\mathrm p}=78.5\,\mathrm{nm}$ である。伝導電子が多いので、アルカリ金属（例題 13.5）より短い極端紫外まで鏡として働く。

(2) $\tau=m\sigma_0/(n_{\mathrm e}e^2)=7.25\times10^{-15}\,\mathrm s$、$\hbar\gamma=0.0907\,\mathrm{eV}$。$2.25\,\mathrm{eV}$ で $\varepsilon_{\mathrm r}=1-15.8^2/(2.25\times(2.25+0.0907\mathrm{i}))$ から (13.6) と (13.8) で $R=0.98846$、近似 $1-2\gamma/\omega_{\mathrm p}=0.98851$ と 4 桁目まで一致する（$\omega/\gamma=25$, $\omega_{\mathrm p}/\omega=7$ で緩和の帯の中にある）。実際のアルミニウムは、平行なバンドの間の遷移による吸収を近赤外から可視に持ち¹1H. Ehrenreich, H. R. Philipp and B. Segall (1963), Physical Review 132, 1918.下の脚注へ閉じる、反射率はこの Drude だけの値より下がる。13.5 節と同じく、段を足して扱う。

(3) $\omega\tau=1.1\times10^{-4}\ll1$ なので (13.12) が使え、$\delta_{\mathrm s}=\sqrt{2/(\mu_0\sigma_0\omega)}=1.67\,\mu\mathrm m$ である。厚さ $11\,\mu\mathrm m$ は $6.58\,\delta_{\mathrm s}$ で、振幅は $\mathrm{e}^{-6.58}=1.4\times10^{-3}$ 倍、強度は $2\times10^{-6}$ 倍になる。実際には入口と出口の境界でさらに強く反射されるので、箔はマイクロ波をほぼ完全に遮る。可視光では $\delta_{\mathrm s}=c/\omega_{\mathrm p}=12.5\,\mathrm{nm}$ である。

(4) $\int_0^{\omega_{\mathrm c}}\omega\varepsilon_2\,\mathrm{d}\omega=\gamma\omega_{\mathrm p}^2\int_0^{\omega_{\mathrm c}}\mathrm{d}\omega/(\omega^2+\gamma^2)=\omega_{\mathrm p}^2\arctan(\omega_{\mathrm c}/\gamma)$ なので、全体 $\pi\omega_{\mathrm p}^2/2$ に対する割合は

$$\frac{2}{\pi}\arctan\frac{\omega_{\mathrm c}}{\gamma}=\frac{2}{\pi}\arctan\frac{1}{0.0907}=0.942$$

である。伝導電子の吸収の重みの 94 パーセントは $1\,\mathrm{eV}$ より下にあり、可視から上の吸収は伝導電子の外（バンド間・内殻）の重みでほぼ決まる。

(5) (13.16) は $\omega\approx\omega_{\mathrm p}$（数値で $15.8\,\mathrm{eV}$）で最大になり、そこでの値は $\omega_{\mathrm p}^2\gamma\omega_{\mathrm p}/(\gamma^2\omega_{\mathrm p}^2)=\omega_{\mathrm p}/\gamma=174$、半値の全幅は $\hbar\gamma=0.091\,\mathrm{eV}$ ほどである。速い電子は自分の電荷で縦の電場を作る。外から与えたのは電荷、つまり $\bm{D}$ のほうで、物質の中の電場は $\bm{E}=\bm{D}/(\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r})$ になるので、損失は $1/\varepsilon_{\mathrm r}$ の虚部で決まる。$\varepsilon_{\mathrm r}=0$ の近くでは小さな $\bm{D}$ が大きな $\bm{E}$ を作り、電子の気体が共鳴して振動する。光の吸収は横の場の応答 $\varepsilon_{\mathrm r}$ そのもので決まるので、$\varepsilon_2$ は $\omega_{\mathrm p}$ で山を持たない。