何を近似したか・何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第13章 §13.6　★★ 衝突を摩擦で置き換えたこと・応答を局所にしたこと・伝導電子を独立な自由電子の気体にしたことの3つを札にする。測る量は赤外の反射・紫外の透明・損失関数・薄膜の光学定数

何を近似したか

衝突を摩擦の項にした。 (13.1) の $-m\bm{v}/\tau$ は、電子の分布の時間変化を、平衡からのずれに比例して戻る形で閉じたものである。不純物による弾性散乱では、等方なバンドの Boltzmann 方程式からこの形が導ける（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第4部第2章）。光の周波数では、電子は光子1個のエネルギーを持ったまま格子の振動と衝突するので、$\tau$ は直流の値と同じとは限らない。この章では $\tau$ を周波数によらない定数とした。

応答を局所にした。 $\bm{J}(\bm{r})=\sigma(\omega)\bm{E}(\bm{r})$ は、電子が衝突までに走る距離 $\ell=v_{\mathrm F}\tau$ の間で電場が変わらないことを仮定している。表皮の深さが $\ell$ より短くなると、電子は表皮の層の外から入って層を横切り、平均自由行程の途中で一部の電場しか感じない。A. B. Pippard はマイクロ波の表面抵抗の測定からこの状況を見つけ、異常表皮効果と呼んだ¹1A. B. Pippard (1947), Proceedings of the Royal Society A 191, 385.下の脚注へ閉じる。G. E. H. Reuter と E. H. Sondheimer は Boltzmann 方程式を表面の境界条件とともに解き、電流が電場の非局所な積分で決まることを示した²2G. E. H. Reuter and E. H. Sondheimer (1948), Proceedings of the Royal Society A 195, 336.下の脚注へ閉じる。局所の式 (13.12) が使えるのは $\ell\ll\delta_{\mathrm s}$ の場合である。緩和の帯では表皮の層の中を電子が横切る時間 $\delta_{\mathrm s}/v_{\mathrm F}$ と光の周期を比べる条件 $v_{\mathrm F}/(\omega\delta_{\mathrm s})=v_{\mathrm F}\omega_{\mathrm p}/(\omega c)\ll1$ が代わりに要り、可視光の金属ではこれが成り立つ（$v_{\mathrm F}/c\approx5\times10^{-3}$）。

伝導電子を独立な自由電子の気体にした。 電子どうしの Coulomb 相互作用は、電子を準粒子として扱えるなら、質量 $m$ を光学的な有効質量に置き換え、相互作用の残りを $\tau$ に含めることで近似的に取り込むことができる。Ehrenreich と Philipp は、銀と銅の自由電子の部分の光学的な質量を電子の質量の $1.03$ 倍と $1.42$ 倍と見積もった（脚注の 1962 年の論文）。バンド間遷移は 13.5 節で $\varepsilon_2$ に足し算で加えたが、足し算でよいのは、伝導帯の中の遷移とバンド間の遷移を別々に数えた独立な電子の線形応答の範囲である。

何の実験の量で確かめるか

この章の式を確かめる量は、周波数の帯ごとに違う。

赤外の反射率と直流の伝導度。 E. Hagen と H. Rubens は、赤外の金属の反射率と直流の伝導度の関係を多くの金属について比べた³3E. Hagen and H. Rubens (1903), Annalen der Physik 316, 873.下の脚注へ閉じる。(13.11) は、反射の測定から伝導度が読めることを言い、例題 13.3 のように $\omega\tau\ll1$ の長い波長でその近似がよくなる。

紫外で透明になる波長。 13.4 節の Wood の測定は、$\lambda_{\mathrm p}\propto n_{\mathrm e}^{-1/2}$ をアルカリ金属の系列で確かめる量である。

電子のエネルギー損失。 薄膜を通り抜けた速い電子のエネルギーの分布に、損失関数 (13.16) の山として $\hbar\omega^*$ のプラズモンが現れる。光では作ることのできない縦の振動を直接測る量である。

薄膜の光学定数。 P. B. Johnson と R. W. Christy は、真空蒸着した銅・銀・金の薄膜の反射と透過を $0.5\sim6.5\,\mathrm{eV}$ で測り、$n$ と $\kappa$ を表にした⁴4P. B. Johnson and R. W. Christy (1972), Physical Review B 6, 4370.下の脚注へ閉じる。この種の表から $\varepsilon_2$ を出し、低いエネルギーの $1/\omega^3$ の裾（Drude）と、遷移の始まりから立ち上がる段（バンド間）に分けるのが、13.5 節の模型を実際の金属に当てはめる手順である。

授業で習った形との対応

学部の電磁気学と光学の授業では、同じ内容を次の形で書くことが多い。

Gauss 単位系の式は $\varepsilon_0\to1/(4\pi)$、$\mu_0\to4\pi/c^2$ と置き換えると SI の式に戻る。工学の $\mathrm{e}^{+\mathrm j\omega t}$ の流儀では虚数単位の符号が逆になり、吸収を表す虚部が負に出る。どちらの流儀でも、物理量の実部をとった結果は同じである。授業では多くの場合 $\gamma\to0$ の形だけを扱い、金属の反射を「$\omega<\omega_{\mathrm p}$ で $\tilde n$ が純虚数だから全反射」と説明する。この章の (13.13) は、その説明に $\gamma$ の1次の補正を足して吸収の割合 $2\gamma/\omega_{\mathrm p}$ を出したものである。