当てる道具：特性関数を母関数にする

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第14章 §1.14.2　★★★ 前の章の特性関数 $W(q)$ の定数を $E$ から $J$ に取り替えると、作用角変数への母関数になる

母関数 $W(q,J)$

前の章（第1部第13章）では、時刻を含まない $H$ に対して Hamilton–Jacobi 方程式を $S=W(q)-Et$ と分離し、特性関数 $W$ が $H(q,\partial W/\partial q)=E$ を満たすことを見た。自由度1ではこれは $\partial W/\partial q=p(q,E)$ で、$p(q,E)$ は等エネルギー線を $p$ について解いたものである。積分すれば

$$W(q,E)=\int_{q_0}^{q}p(q',E)\,\mathrm{d} q'\tag{1.14.7}$$

となる。前の章ではこの $W$ を、定数 $E$ を新しい運動量とみなした母関数 $F_2$ として使い、新しい座標 $\partial W/\partial E=t+\beta_1$ を得た。

ここでは定数の選び方を変える。$E$ は $J$ の関数 $E=H(J)$ なので、$W$ を $q$ と $J$ の関数 $W(q,J)=W(q,H(J))$ とみなし、$J$ を新しい運動量にした母関数$F_2(q,J)=W(q,J)$ を使う。母関数の規則（第1部第12章）$p=\partial F_2/\partial q$, $\theta=\partial F_2/\partial J$ から

$$p=\frac{\partial W}{\partial q}=p(q,H(J)),\qquad \theta=\frac{\partial W}{\partial J}\tag{1.14.8}$$

を得る。1つ目は「$(q,p)$ がエネルギー $H(J)$ の等エネルギー線の上にある」ことを言っている。$F_2$ は時刻を含まないので、新しい Hamiltonian はもとの $H$ をそのまま新しい変数で書いたもので、その値は等エネルギー線の上で $H(J)$ である。これで定理 1.14.2 の (1)(2) が示せた。$\theta$ の運動は$\dot\theta=\partial H(J)/\partial J$ で、$J$ が一定なので $\dot\theta$ も一定である。

角変数は1周で $2\pi$ 増える

定理の (3) を示す。運動が1周するあいだに $\theta$ がどれだけ増えるかは、$\theta=\partial W/\partial J$ を $q$ について1周積分すればよい。$J$ を固定して $q$ について微分してから積分すると

$$\Delta\theta=\oint\frac{\partial \theta}{\partial q}\,\mathrm{d} q=\oint\frac{\partial }{\partial q}\Bigl(\frac{\partial W}{\partial J}\Bigr)\mathrm{d} q=\frac{\partial }{\partial J}\oint\frac{\partial W}{\partial q}\,\mathrm{d} q=\frac{\partial }{\partial J}\oint p\,\mathrm{d} q=\frac{\partial }{\partial J}(2\pi J)=2\pi\tag{1.14.9}$$

となる。3つ目の等号では $q$ についての微分と $J$ についての微分の順を入れ替え、$J$ についての微分を積分の外へ出した（積分の経路は $J$ ごとに変わるが、閉曲線を1周するので端の寄与は無い）。最後の等号は作用変数の定義そのものである。$J$ を $\oint p\,\mathrm{d} q/(2\pi)$ と定義したことが、そのまま角変数の周期を $2\pi$ にしている。$J$ を別の定数倍にとれば、角変数の周期もその逆数倍になる。

1周で $\theta$ が $2\pi$ 増え、その速さが一定値 $\omega=\dot\theta$ なので、1周にかかる時間 $T$ は $\omega T=2\pi$ を満たす。これと式 (1.14.2) を合わせると

$$\omega(J)=\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} J}=\frac{1}{\mathrm{d} J/\mathrm{d} E}=\frac{2\pi}{T}\tag{1.14.10}$$

で、作用角変数の Hamilton 方程式から出る角速度と、前の章で面積の $E$ 微分から出した周期とが同じものであることが確かめられる。作用角変数を使うと、運動を解かずに周期が出る。 $J(E)$ を面積として計算し、逆に解いて $H(J)$ を出し、$J$ で微分すればよい。

相空間の面積は変数を変えても同じ

正準変換は相空間の面積を保つ（第1部第8章・第1部第12章）。$(\theta,J)$ の平面では、エネルギー $E$ の等エネルギー線は$J=J(E)$ の水平な線分 $0\le\theta<2\pi$ で、その下の面積は $2\pi J$ である。$(q,p)$ の平面でこれに対応するのは等エネルギー線の囲む領域で、その面積はやはり $2\pi J$ である。作用角変数は、相空間の閉曲線を高さ $J$・幅 $2\pi$ の長方形に「伸ばして並べる」変換になっている。調和振動子の式 (1.14.5) では、変換のヤコビアン $\partial(q,p)/\partial(\theta,J)$ を計算すると $1$ になり、面積が保たれていることが直接確かめられる。