橋：Schwinger の作用原理

量子力学の様々な構成方法　第3部 第7章 §3.7.6　★★★ 経路積分を作用の変分で微分すると Schwinger の作用原理 $\delta\langle b | a \rangle =\frac{\mathrm{i}}\hbar\langle b | \delta\hat S | a \rangle$ になり、端の変分が Schrödinger 方程式と運動量の表示を、内部の変分が Heisenberg の運動方程式を与える

作用原理を経路積分から出す

J. Schwinger は、遷移振幅の変分を作用の変分の行列要素として与える

$$\delta\langle b,t_2 | a,t_1 \rangle =\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\langle b,t_2 | \delta\hat S | a,t_1 \rangle\tag{3.7.20}$$

を量子力学（と場の量子論）の出発点の原理に置いた（J. Schwinger (1951), Phys. Rev. 82, 914–927）。$\delta\hat S$ は作用の変分を演算子にして時間順序に並べたものである。経路積分の側では、これはほとんど自明である。$\langle b,t_2 | a,t_1 \rangle =\int\mathcal Dx\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S[x]/\hbar}$ で、作用に含まれる何か（ポテンシャル、端点、端の時刻、外から加えた力）を少し変えると、被積分関数は$\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}\to\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}(1+\frac{\mathrm{i}}\hbar\delta S)$ と変わり、$\delta S$ を差し込んだ経路積分は時間順序積の行列要素になる（第3部第5章）。したがって式 (3.7.20) は、Feynman の要請を作用のパラメータについて微分した形で、計画で「経路積分の微分版」と呼んだのはこの意味である。逆に Schwinger は、経路積分を持ち出さずに式 (3.7.20) を公理として、交換関係と運動方程式を導いた。以下、何を変えると基準のどの式が出るかを順に書く。

3種類の変分

(i) 終点の位置と時刻を変える。端を固定しない作用の変分は、古典力学と同じく端の項 $\delta S=p_f\delta x_f-H\delta t_f$ を持つ（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第3章）。式 (3.7.20) に入れると

$$-\mathrm{i}\hbar\frac{\partial }{\partial x_f}\langle x_f,t_f | a \rangle =\langle x_f,t_f | \hat p | a \rangle ,\qquad \mathrm{i}\hbar\frac{\partial }{\partial t_f}\langle x_f,t_f | a \rangle =\langle x_f,t_f | \hat H | a \rangle\tag{3.7.21}$$

を得る。前者は位置表示での運動量の表示 $\hat p=-\mathrm{i}\hbar\partial_x$ で、後者は Schrödinger 方程式である。古典力学で $\partial S_{\mathrm{cl}}/\partial x_f=p_f$、$-\partial S_{\mathrm{cl}}/\partial t_f=H$（Hamilton–Jacobi）だったものが、振幅についての演算子の等式に置き換わる。

(ii) 経路の内部をずらす。端を固定して経路の内部を $x(t)\to x(t)+\delta x(t)$ とずらすと、積分変数の付け替えなので振幅は変わらない。一方 $\delta S=-\int\delta x\,(m\ddot x+V'(x))\mathrm{d} t$ なので

$$\langle b | \mathrm T\bigl[m\ddot{\hat x}_{\mathrm H}+V'(\hat x_{\mathrm H})\bigr] | a \rangle =0\tag{3.7.22}$$

で、これは Heisenberg の運動方程式（第2部第3章）の行列要素である。時間分割した形が第3部第5章の部分積分の恒等式（Schwinger–Dyson 方程式）で、そこでは $F=x_k$ と選ぶと交換関係 $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ も出た。

(iii) ハミルトニアンの中のパラメータを変える。$V\to V+\delta V$ なら $\delta S=-\int\delta V\mathrm{d} t$ で$\delta\langle b | a \rangle =-\frac{\mathrm{i}}\hbar\int\mathrm{d} t\,\langle b | \mathrm T\,\delta V(\hat x_{\mathrm H}(t)) | a \rangle$。これは時間に依存する摂動論の1次で、繰り返せば Dyson 級数になる。固有状態の間で時間を長くとると、Feynman–Hellmann の定理 $\partial E_n/\partial\lambda=\langle n | \partial_\lambda\hat H | n \rangle$ になる。

この章の橋の一覧

この章で出した結果が、同値性の地図（第1部第1章）のどの橋に当たり、基準やほかの部でどう書かれるかを並べる。

学部の授業での書き方と並べると、トンネルの分裂は WKB の接続公式から $\Delta E=\frac{\hbar\omega}{\pi}\exp(-\frac1\hbar\int\lvert p\rvert \mathrm{d} x)$ の形で出すことが多い。指数は瞬間子と同じで、前因子は接続の取り方で決まる。Aharonov–Bohm 効果は、ゲージ変換で $\bm{A}$ を消して波動関数の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} q\int\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{r}/\hbar}$ を経路ごとに読む書き方が標準的で、それは式 (3.7.10) の $w=0,1$ の2項だけを残したものに当たる。