この章のまとめ

(1) 虚時間のエネルギー0の条件 $\frac I2\dot\theta^2=V_0\sin^2\theta$ から $\dot\theta=\omega\sin\theta$。これを解くと $\tan(\theta/2)=\mathrm{e}^{\omega(\tau-\tau_0)}$、つまり $\theta_{\mathrm{inst}}=2\arctan\mathrm{e}^{\omega(\tau-\tau_0)}$。作用は $S_0=\int_0^\pi\sqrt{2IV_0}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=2\sqrt{2IV_0}=2I\omega$（$2IV_0=I^2\omega^2$）。$\tau\to\infty$ で $\tan(\theta/2)\approx2/(\pi-\theta)$ なので $\pi-\theta\approx2\mathrm{e}^{-\omega\tau}$、$A=2$。

(2) 輪を1周すると位相 $2\pi\varphi$ で、半周ではその半分である。反時計回り（$\theta$ が増える向き）は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\varphi}$、時計回りは $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi\varphi}$ を受け取る。第3部第2章の輪の例題の巻き数 $w$ の位相 $\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} w\varphi}$ と同じ規則を、半周の移り変わりに当てたものである。

(3) 片方の井戸から反対の井戸への移り変わりの振幅は、2つの瞬間子の和で $K\,\mathrm{d}\tau\,\mathrm{e}^{-S_0/\hbar}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\varphi}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi\varphi})=2K\cos(\pi\varphi)\mathrm{e}^{-S_0/\hbar}\mathrm{d}\tau$ になる。2つの井戸の状態 $| 0 \rangle ,| \pi \rangle$ の上の有効ハミルトニアンは、対角が $\hbar\omega/2$、非対角が $-2\hbar K\cos(\pi\varphi)\mathrm{e}^{-S_0/\hbar}$ の $2\times2$ 行列で（式 (3.7.6) と同じ和の取り方）、その固有値の差は

$$\Delta E(\varphi)=4\hbar K\mathrm{e}^{-S_0/\hbar}\lvert \cos\pi\varphi\rvert ,\qquad K=\omega\sqrt{\frac{4I\omega}{\pi\hbar}},\quad S_0=2I\omega .$$

$\varphi=0$ では2つの道筋が強め合い、1次元の二重井戸 (3.7.7) の2倍になる。

(4) $\varphi=1/2$ では $\cos(\pi/2)=0$ で、2つの瞬間子の振幅が打ち消し合い、分裂が0になって最低2準位が縮退する。近似によらないことは次のように示せる。Fourier 基底で運動エネルギーは $\frac{\hbar^2}{2I}(n-\varphi)^2$、$V_0\sin^2\theta=\frac{V_0}{2}(1-\cos2\theta)$ は $n$ と $n\pm2$ をつなぐ。$\varphi=1/2$ では $n\to1-n$ の付け替えで $(n-\frac12)^2$ は不変で、$n\pm2$ のつながりも保たれるので、ハミルトニアンはこの付け替えで不変である。付け替えは偶数の $n$ の部分空間と奇数の $n$ の部分空間を入れ替えるので、2つの部分空間のスペクトルは完全に一致し、各準位は2重に縮退する。これは第3部第2章で自由な輪について見た「$\varphi=1/2$ で基底状態が2重に縮退する」ことの、ポテンシャルがある場合への拡張である。$I\omega/\hbar=4$ では $S_0/\hbar=8$、$K/\omega=\sqrt{16/\pi}=2.257$ で、予言は $\Delta E/\hbar\omega=4\times2.257\times\mathrm{e}^{-8}=3.03\times10^{-3}$。厳密な値との比は $0.881$ で、$\hbar/S_0=0.125$ の1次の補正の大きさに収まる。$\varphi=1/4$ では数値対角化の分裂は $\varphi=0$ の $\cos(\pi/4)=0.707$ 倍で、$\lvert \cos\pi\varphi\rvert$ の依存は数値と一致する。

(5) 磁束はハミルトニアンの中のパラメータなので、3.7.6節の (iii) の変分（Feynman–Hellmann の形）に当たる。経路積分の側では、$\Phi$ を変えると作用の $q\int\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}\mathrm{d} t$ の項が変わり、その差し込みが輪に沿った速度、つまり電流の期待値を与える。$0\le\varphi<1/2$ では $E_0=\frac{\hbar\omega}{2}-2\hbar K\mathrm{e}^{-S_0/\hbar}\cos\pi\varphi$ なので、$\mathrm{d}\varphi/\mathrm{d}\Phi=q/h$ を使って

$$\mathcal J=-\frac{\partial E_0}{\partial \Phi}=-\frac qh\cdot2\pi\hbar K\mathrm{e}^{-S_0/\hbar}\sin\pi\varphi=-qK\mathrm{e}^{-S_0/\hbar}\sin\pi\varphi .$$

電流はトンネルの振幅 $\mathrm{e}^{-S_0/\hbar}$ に比例して小さく、障壁が無限に高い極限では粒子が輪をまわれないので0になる。