出てくるもの (3)：量子化の条件と断熱圧縮

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第14章 §1.14.5　★★★ $J$ は量子力学では量子数を数える量、統計力学では状態の数を数える量で、どちらでも「ゆっくり変えても変わらない」ことが意味を持つ

Bohr–Sommerfeld の量子化条件

序章（第1部第1章）と前の章で触れたとおり、波動関数を $\psi\approx A\mathrm{e}^{\mathrm{i} W(q)/\hbar}$ と書いて、等エネルギー線を1周したときに波動関数が元に戻る条件を課すと、

$$J=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d} q=\Bigl(n+\frac12\Bigr)\hbar\qquad(n=0,1,2,\dots)\tag{1.14.18}$$

が出る（Bohr–Sommerfeld の量子化条件。導出は WKB 近似で、第4部第7章・近似の数理 第7章）。作用角変数の言葉では、量子化とは $J$ に $\hbar$ の刻みで値を許すことで、エネルギーは $E_n=H\bigl((n+\frac12)\hbar\bigr)$ で与えられる。調和振動子では $H(J)=\omega J$ から $E_n=(n+\frac12)\hbar\omega$ で、これは Schrödinger 方程式の厳密な固有値と一致する。

$\frac12$ は、滑らかなポテンシャルの2つの転回点で波動関数の位相がそれぞれ $\pi/4$ ずつずれることによる。転回点の性質が違えばこの数も変わる。箱の壁のように無限に高い壁では波動関数が壁で $0$ になる必要があり、同じ数え方で壁1枚につき位相が $\pi/2$ ずれる。2枚の壁で合わせて $\pi$（滑らかな転回点2つでは $\pi/2$）になるので

$$J=n\hbar\qquad(n=1,2,3,\dots)\tag{1.14.19}$$

となる。例題 1.14.2 の $H(J)=\pi^2J^2/(2ma^2)$ に入れると $E_n=\dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$ で、これも箱の中の粒子の厳密な固有値である。

断熱不変量と量子数

量子化の条件 (1.14.18) と断熱不変性を合わせると、1つの予想が出る。パラメータをゆっくり変えると $J$ は保たれるので、$J=(n+\frac12)\hbar$ の $n$ も変わらないはずである。つまり、ゆっくり変えれば系は同じ番号の状態にとどまり、エネルギーは $E_n(\lambda)$ に沿って連続に変わる。これは量子力学では断熱定理（エネルギー準位が他の準位と交わらない限り、ゆっくり変えた系は同じ番号の固有状態にとどまる）として成り立つ。断熱定理は第4部第9章で扱い、そこでは位相の中に Berry 位相という新しい項が現れる。

古典の $J$ を量子数の連続版とみなすと、断熱不変性を別の意味で読むことができる。量子数は整数で、連続に変わることができない。したがって量子化される量は、ゆっくりした変化で連続に変わってしまう量（エネルギー・周期）であってはならず、断熱不変量でなければならない。古典力学の断熱不変量を探すことが、どの量を量子化すべきかを見つける手がかりになる。

箱の断熱圧縮と気体の $PV^{5/3}$

箱の幅 $a$ をパラメータとし、壁をゆっくり動かす。$J=a\sqrt{2mE}/\pi$ が一定なので $E\propto a^{-2}$ である。壁が粒子から受ける平均の力は、壁をわずかに $\mathrm{d} a$ だけ動かしたときに粒子がする仕事 $F\,\mathrm{d} a=-\mathrm{d} E$ から

$$F=-\Bigl(\frac{\partial E}{\partial a}\Bigr)_J=\frac{2E}{a}\tag{1.14.20}$$

になる。$J$ を止めて微分しているのは、壁の動きがゆっくりで $J$ が保たれるからである。粒子が壁に当たるたびに運動量 $2mv$ を渡し、その頻度が $v/(2a)$ であることから平均の力 $mv^2/a=2E/a$ を数えても同じ答えになる。

3次元の立方体の箱（1辺 $a$、体積 $V=a^3$）では、運動が $x$, $y$, $z$ の3方向に分離し、各方向の作用変数 $J_x$, $J_y$, $J_z$ がそれぞれ保たれる。エネルギーは $E=\frac{\pi^2}{2ma^2}(J_x^2+J_y^2+J_z^2)\propto a^{-2}=V^{-2/3}$ で、圧力は

$$P=-\Bigl(\frac{\partial E}{\partial V}\Bigr)_J=\frac{2E}{3V},\qquad PV^{5/3}=\text{一定}\tag{1.14.21}$$

となる。多数の粒子の気体でも、各粒子の $J$ が保たれる限り同じで、$E$ を全運動エネルギーとして $PV=\frac23E$ と $PV^{5/3}=$ 一定が成り立つ。これは単原子理想気体の断熱変化の式で、指数 $5/3$ は熱力学で比熱の比 $\gamma$ として出てくる値と一致する（1.14.6節）。

自由度1では、$2\pi J$ はエネルギー $E$ 以下の状態が占める相空間の面積である。量子化の条件と合わせると、$2\pi J/(2\pi\hbar)$ はエネルギー $E$ 以下の量子状態の数を数えている。$J$ が保たれることは、エネルギー以下の状態の数が保たれることで、統計力学の言葉では断熱変化でエントロピーが変わらないことにあたる。自由度の大きな系で「等エネルギー面が囲む相空間の体積」が断熱不変量になることと、エントロピーとの関係は第3部第5章で扱う。