この章のまとめ

この章の結果

• $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}H=\frac{\partial H}{\partial \lambda}\dot\lambda$、仕事 $W=\int\frac{\partial H}{\partial \lambda}\dot\lambda\,\mathrm{d} t$。
• $\Phi(E,\lambda)=\frac{1}{h^fN!}\int\theta(E-H)$、$f=1$ で $\Phi=J/\hbar$。$\frac{\partial \Phi}{\partial \lambda}=-g\langle \frac{\partial H}{\partial \lambda} \rangle _E$。
• Hertz の定理：エルゴード的ならゆっくりした変化で $\Phi$ は一定。
• $S= k_{\mathrm B}\ln\Phi$、$1/T= k_{\mathrm B} g/\Phi$、$\mathrm{d} E=T\,\mathrm{d} S+\langle \partial H/\partial\lambda \rangle _E\mathrm{d}\lambda$。理想気体で $E=\frac32N k_{\mathrm B} T$、$PV=N k_{\mathrm B} T$、$PV^{5/3}=$ 一定。
• 急に変えた振動子：$E'/E_{\mathrm{ad}}=(1+r^2)/(2r)\ge1$、$\Delta S=N k_{\mathrm B}\ln\frac{1+r^2}{2r}$。自由膨張 $\Delta S=N k_{\mathrm B}\ln2$。
• 量子：断熱定理で $p_n$ が一定、$E_n=s(\lambda)\varepsilon _n$ なら $T\propto s$（断熱消磁 $T\propto B$）。

総合問題　調和トラップの原子気体をゆるめる ★★★

オリジナル等方的な3次元の調和ポテンシャル $\frac12m\omega^2\lvert \bm{r}\rvert ^2$ に閉じ込めた $N$ 個の同種の原子の古典的な気体を考える。原子どうしは弱く衝突してエネルギーを配り直すが、その相互作用のエネルギーは無視できるとする。初めの角振動数を $\omega_0$、温度を $T_0$ とする。

1. (1) （使う道具：3.5.2節の $\Phi$・例題 3.5.2／第3部第2章 の $1/N!$）$\Phi(E,\omega)$ を求めよ。
2. (2) （使う道具：3.5.3節の温度の定義）$E$ と $T$ の関係を求めよ。
3. (3) （使う道具：3.5.2節の Hertz の定理／第1部第14章 の作用変数）トラップをゆっくり $\omega_1=\omega_0/2$ にゆるめる。終わりの温度とエントロピーの変化を求めよ。原子どうしの衝突で個々の原子の作用変数が保たれなくても結論が変わらない理由を述べよ。
4. (4) （使う道具：3.5.4節の急な変化）同じ変化を一瞬で行い、その後衝突でエネルギーが配り直されるのを待つ。終わりの温度と、エントロピーの増加を $N k_{\mathrm B}$ を単位として求めよ。
5. (5) （使う道具：3.5.4節の式 (3.5.17)／第1部第14章 の総合問題）(3) と (4) で系から取り出せた仕事を $E_0=3N k_{\mathrm B} T_0$ を単位として比べよ。比 $E'/E_{\mathrm{ad}}$ が第1部第14章の総合問題（$\omega$ を $2$ 倍にする場合）と同じ値になる理由を述べよ。