何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第4章 §5.4.6　★★ 同位体効果・比熱の跳びと指数関数の減り方・トンネル分光で見る準粒子の状態密度が BCS を確かめる量。授業の $N(0)V$ はこの章の $\lambda$、二流体模型の $1-t^4$ は Yosida 関数の近似

何の実験の量で確かめるか

同位体効果。(5.4.17) の $T_{\mathrm c}\propto\omega_{\mathrm D}\propto M^{-1/2}$ は、超伝導が格子の振動に由来することを示す。水銀の同位体で $T_{\mathrm c}$ が質量とともに下がることは、BCS の理論より前に報告された（E. Maxwell (1950), Phys. Rev. 78, 477；C. A. Reynolds, B. Serin, W. H. Wright, L. B. Nesbitt (1950), Phys. Rev. 78, 487）。例題 5.4.5 で見たように、Coulomb の反発は指数 $\alpha$ を $\frac12$ より小さくする。

比熱。$T_{\mathrm c}$ での比熱の跳び (5.4.29) と、低温での指数関数の減り方 $\mathrm{e}^{-\Delta_0/( k_{\mathrm B} T)}$ は、どちらも比熱の測定で直接読める。後者の指数からギャップの大きさを測り、$T_{\mathrm c}$ と比べて (5.4.18) を確かめることができる。

トンネル分光。正常な金属と超伝導体を薄い絶縁膜で隔てた接合（N–I–S 接合）に電圧 $V_{\mathrm b}$ をかけると、電子は絶縁膜を通り抜けて超伝導体の準粒子の状態に入る。第4部第7章の Bardeen のトンネル電流の式で、正常な金属の状態密度を一定とすると、絶対零度の微分伝導度は超伝導体の準粒子の状態密度に比例し、

$$\frac{G(V_{\mathrm b})}{G_{\mathrm n}}=\frac{N_{\mathrm s}(eV_{\mathrm b})}{N_0},\qquad \frac{N_{\mathrm s}(E)}{N_0}=\begin{cases}\dfrac{\lvert E\rvert }{\sqrt{E^2-\Delta^2}}&(\lvert E\rvert >\Delta)\\[1.2ex]0&(\lvert E\rvert <\Delta)\end{cases}\tag{5.4.31}$$

になる（$G_{\mathrm n}$ は正常な状態の伝導度）。状態密度の形は、$N_0\,\mathrm{d}\xi=N_{\mathrm s}(E)\,\mathrm{d} E$ と $E=\sqrt{\xi^2+\Delta^2}$ から出る。ギャップの中の状態は、ギャップの縁のすぐ上に積み上がる（図 5.4.4）。Giaever はこの方法で超伝導体のギャップを直接測った（I. Giaever (1960), Phys. Rev. Lett. 5, 147）。有限温度では、正常な金属の側の Fermi 分布の幅 $k_{\mathrm B} T$ で縁がなまる。

図 5.4.4　準粒子の状態密度 (5.4.31)（実線）と正常な金属の $N_0$（点線）。ギャップの中の状態はギャップの縁に移り、縁で $1/\sqrt{E-\Delta}$ の形で発散する。絶対零度の N–I–S 接合の微分伝導度は、この曲線そのものになる。

磁束の量子とマイクロ波の吸収。超伝導の輪を通る磁束が $h/(2e)$ の整数倍になること（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第6章）は、秩序変数の電荷が $-2e$ であること、つまり対が凝縮していることの直接の証拠である。また、$2\Delta_0/h$ より高い周波数の電磁波だけが対を壊して吸収される（例題 5.4.3 では $86\,\mathrm{GHz}$）。

授業で習った形との対応

BCS の公式。固体物理の授業では、BCS の結果を

$$k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}=1.13\,\hbar\omega_{\mathrm D}\,\mathrm{e}^{-1/N(0)V},\qquad\Delta(0)=2\hbar\omega_{\mathrm D}\,\mathrm{e}^{-1/N(0)V},\qquad2\Delta(0)=3.52\, k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}$$

と書くことが多い。$N(0)$ は1スピンあたりの Fermi 準位の状態密度、$V$ は引力の行列要素で、$N(0)V$ はこの章の $\lambda=gN_0$ (5.4.3) と同じものである。状態密度を両スピンで数える教科書では指数が $\mathrm{e}^{-2/(D(\varepsilon _{\mathrm F})V)}$ と書かれるので、比べるときは数え方を先に確かめる。

London 方程式と二流体模型。電磁気の授業では、超伝導体を「抵抗の無い電子（密度 $n_{\mathrm s}$）と正常な電子（密度 $n-n_{\mathrm s}$）の混合」とみなし、London 方程式 $\bm{j}_{\mathrm s}=-(n_{\mathrm s}e^2/m)\bm{A}$ と、経験式 $n_{\mathrm s}/n=1-(T/T_{\mathrm c})^4$（Gorter–Casimir の二流体模型）を習う。この章では、前者が (5.4.28) として出て、$n_{\mathrm s}$ が Yosida 関数で $n(1-Y(T))$ と決まる。対の密度 $n_{\mathrm s}/2$・電荷 $2e$・質量 $2m$ と数えても、$n_{\mathrm s}e^2/m=(n_{\mathrm s}/2)(2e)^2/(2m)$ なので侵入長は変わらない。

熱力学の式。熱力学の授業では、臨界磁場 $B_{\mathrm c}(T)$ を測って凝縮エネルギー $B_{\mathrm c}^2/(2\mu_0)$ と、Rutgers の式 $\Delta C=(T_{\mathrm c}/\mu_0)(\mathrm{d} B_{\mathrm c}/\mathrm{d} T)^2$ を習う。(5.4.22) と (5.4.24) は、これらを微視的な量 $N_0$・$\Delta_0$・$T_{\mathrm c}$ で書いたものである（総合問題 (3)）。