この章のまとめ

(1) $k_{\mathrm F}=(3\pi^2n)^{1/3}=1.14\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}$、$\varepsilon _{\mathrm F}=\hbar^2k_{\mathrm F}^2/(2m)=4.95\,\mathrm{eV}$、$v_{\mathrm F}=\hbar k_{\mathrm F}/m=1.32\times10^6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。$N_0=3n/(4\varepsilon _{\mathrm F})=4.73\times10^{46}\,\mathrm{J^{-1}m^{-3}}=7.58\,\mathrm{eV^{-1}nm^{-3}}$、$\gamma=\frac{2\pi^2}{3}N_0 k_{\mathrm B}^2=59.3\,\mathrm{J\,K^{-2}m^{-3}}$ である。

(2) $k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}=1.134\times25\,\mathrm{meV}\times\mathrm{e}^{-4}=0.519\,\mathrm{meV}$、$T_{\mathrm c}=6.02\,\mathrm K$。$\Delta_0=25\,\mathrm{meV}/\sinh4=0.9161\,\mathrm{meV}$、近似の形は $50\,\mathrm{meV}\times\mathrm{e}^{-4}=0.9158\,\mathrm{meV}$ で、差は $0.03\%$ である。$\sinh(1/\lambda)=\frac12\mathrm{e}^{1/\lambda}(1-\mathrm{e}^{-2/\lambda})$ なので、相対的な差は $\mathrm{e}^{-2/\lambda}=\mathrm{e}^{-8}=3\times10^{-4}$ の大きさになる。$\Delta_0/( k_{\mathrm B} T_{\mathrm c})=1.764$ である。

(3) $B_{\mathrm c}(0)=\Delta_0\sqrt{\mu_0N_0}=35.8\,\mathrm{mT}$、凝縮エネルギーは $\frac12N_0\Delta_0^2=509\,\mathrm{J\,m^{-3}}$。例題 5.4.4 の (3) から $B_{\mathrm c}(T)^2/(2\mu_0)=\frac{4\pi^2}{7\zeta(3)}N_0( k_{\mathrm B} T_{\mathrm c})^2(1-t)^2$ なので

$$\lvert \frac{\mathrm{d} B_{\mathrm c}}{\mathrm{d} T}\rvert _{T_{\mathrm c}}=\sqrt{\frac{8\pi^2\mu_0N_0}{7\zeta(3)}}\, k_{\mathrm B}=10.3\,\mathrm{mT\,K^{-1}}$$

である。Rutgers の式に入れると $(T_{\mathrm c}/\mu_0)(\mathrm{d} B_{\mathrm c}/\mathrm{d} T)^2=\frac{8\pi^2}{7\zeta(3)}N_0 k_{\mathrm B}^2T_{\mathrm c}$ となり、(5.4.29) の $\Delta C=1.426\gamma T_{\mathrm c}$ と式として一致する。値は $510\,\mathrm{J\,K^{-1}m^{-3}}$（$\gamma T_{\mathrm c}=357\,\mathrm{J\,K^{-1}m^{-3}}$ の $1.43$ 倍）である。GL の汎関数が BCS から出たので、熱力学の恒等式である Rutgers の式も BCS と矛盾しない。

(4) $\lambda_{\mathrm L}(0)=\sqrt{m/(\mu_0ne^2)}=23.8\,\mathrm{nm}$、$\xi_0=\hbar v_{\mathrm F}/(\pi\Delta_0)=302\,\mathrm{nm}$、$\kappa=0.957\times23.8/302=0.075$ で、$1/\sqrt2$ より小さいので第1種である。$T=0.9\,T_{\mathrm c}$ では $\lambda_{\mathrm L}=23.8/\sqrt{0.2}=53.1\,\mathrm{nm}$、$\xi=0.739\times302/\sqrt{0.1}=705\,\mathrm{nm}$ である。清浄な単体金属で $\kappa$ が小さいのは、$\xi_0$ が対の大きさ（$\hbar v_{\mathrm F}/\Delta_0$）で長く、$\lambda_{\mathrm L}$ が電子の密度で短く決まるからである。

(5) $k_{\mathrm B} T_{\mathrm{MF}}=1.381\times10^{-23}\times4180/1.602\times10^{-19}\,\mathrm{eV}=0.360\,\mathrm{eV}$ で、$\Delta_0/( k_{\mathrm B} T_{\mathrm{MF}})=1.80$ である。BCS の $\pi\mathrm{e}^{-\gamma_{\mathrm E}}=1.764$ に $2\%$ の差で近い。同じ数が現れるのは、どちらの平均場でも自己無撞着の式が、Fermi 準位で一定の状態密度の上で$1=\lambda_{\mathrm{eff}}\int_0^{W}\tanh(E/(2 k_{\mathrm B} T))\,\mathrm{d}\xi/E$ の形になるからである。絶対零度の解は $\Delta_0\approx2W\mathrm{e}^{-1/\lambda_{\mathrm{eff}}}$、転移温度は $k_{\mathrm B} T=\frac{2\mathrm{e}^{\gamma_{\mathrm E}}}{\pi}W\mathrm{e}^{-1/\lambda_{\mathrm{eff}}}$ で、比をとると上端 $W$ と $\lambda_{\mathrm{eff}}$ が消える（$2\%$ の差は、$\lambda=0.204$ が完全には弱い結合でないことの表れである）。

違いは、何と何を混ぜてギャップを開くかにある。Peierls 転移では、格子の歪みが $k$ と $k+2k_{\mathrm F}$ の電子を混ぜる。両者が同じエネルギーを持つ（Fermi 面が $2k_{\mathrm F}$ ずらして重なる）のは1次元の鎖で特別に成り立つことで、2次元・3次元の一般の Fermi 面では一部の点しか重ならない。BCS では、平均場が $\bm{k}\uparrow$ の電子と $-\bm{k}\downarrow$ の正孔を混ぜ、時間反転の対称性から $\xi_{-\bm{k}}=\xi_{\bm{k}}$ が成り立つので、Fermi 面のすべての点で電子と正孔が縮退している。そのため対数の発散は Fermi 面の形によらず必ず起き、どの次元の金属でも弱い引力でギャップが開く。