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何を削ったか

2026年10月15日11分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第5部 第4章 超伝導：対を作る H

AI 生成・木下が未勉強

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第4章 §5.4.5　★★★ 引力の運動量とエネルギーへの依存・Coulomb の反発・強い結合の効果・秩序変数のゆらぎ・不純物を削った。Coulomb の反発は遅れの効果で μ∗\mu^* に縮み、ゆらぎは TcT_{\mathrm c} のごく近くでしか現れない

この章の HH (5.4.2) と平均場は、金属の電子から次の5つを削っている。

1つ目は引力の形である。(5.4.1) の引力は運動量の受け渡し q\bm{q} にも、受け渡すエネルギー ℏω\hbar\omega にもよるが、BCS はこれを殻の中の定数 −g/V-g/V にした。Fermi 面の上で gg が向きによらないとしたので、ギャップ Δ\Delta も向きによらない（ss 波）。結晶の Fermi 面ではギャップに向きの依存が残り、銅酸化物などでは向きによって符号まで変わる。全運動量が 00 でない対の散乱を捨てたことは、一様な状態の平均場には影響しない。

2つ目はCoulomb の反発である。遮蔽された Coulomb の反発は殻の外まで広がり、無次元の大きさ μ=N0⟨VC⟩\mu=N_0\langle V_{\mathrm C} \rangle は 0.20.2〜0.50.5 程度で、引力の λ\lambda と同じ桁である。それでも超伝導が起きるのは、反発が瞬間的に働くのに対し、引力が時間の遅れを伴うからである。殻の外のエネルギーの状態を消去すると、殻の中での反発は

μ∗=μ1+μln⁡(εF/ℏωD)(5.4.30)\mu^*=\frac{\mu}{1+\mu\ln(\varepsilon _{\mathrm F}/\hbar\omega_{\mathrm D})}\tag{5.4.30}

に縮み（P. Morel, P. W. Anderson (1962), Phys. Rev. 125, 1263）、λ\lambda の代わりに λ−μ∗\lambda-\mu^* が転移温度の指数に入る（例題 5.4.5）。

3つ目は強い結合の効果である。BCS は λ≪1\lambda\ll1 で、準粒子の寿命やフォノンのスペクトルの形を捨てた。λ\lambda が 11 に近い物質では、電子とフォノンの結合をエネルギーに依存する形で扱う Eliashberg の理論が要り、2Δ0/(kBTc)2\Delta_0/( k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}) や ΔC/(γTc)\Delta C/(\gamma T_{\mathrm c}) は (5.4.18)・(5.4.29) の値より大きくなる。

4つ目は秩序変数のゆらぎである。平均場では Δ\Delta を1つの数に置き換え、その熱ゆらぎを捨てた。ゆらぎが目に見えるのは、ゆらぎ1個の自由エネルギー（コヒーレンス長の体積の中の凝縮エネルギー）がkBTck_{\mathrm B} T_{\mathrm c} と同じ程度になる温度の範囲だけである。通常の金属の超伝導体ではこの比がきわめて小さく（例題 5.4.5）、平均場が TcT_{\mathrm c} のごく近くまで使える。これは第5部第3章の磁性の平均場と大きく違う点で、BCS の対が非常に大きく（ξ0∼μm\xi_0\sim\mu\mathrm m）、1個の対の中に多数の対が重なっていることの帰結である。

5つ目は不純物と有限の大きさである。非磁性の不純物は、時間反転で結ばれた状態の対を作り直せば平均場の TcT_{\mathrm c} を変えない（Anderson の定理）。ただし勾配の係数 (5.4.25) は平均自由行程が ξ0\xi_0 より短いと小さくなり、κ\kappa が大きくなる。また、5.4.4節の London 方程式は電流と A\bm{A} の関係が局所的なこと（ξ0≪λL\xi_0\ll\lambda_{\mathrm L}）を仮定した。アルミニウムのように ξ0≫λL\xi_0\gg\lambda_{\mathrm L} の物質では電流が ξ0\xi_0 の範囲の A\bm{A} の平均で決まり（Pippard の非局所性）、侵入長は λL\lambda_{\mathrm L} より長くなる。

近似の裏付けは次のとおりである。

近似の裏付け

型 C（閉じる）　｜　小さいもの フォノンを介した引力と Coulomb の反発を、殻の中の定数 −g/V-g/V（と μ∗\mu^*）で置き換える（小さいパラメータなし）　｜　証明 C 型＝内部の評価なし（遅れの効果の大きさは ℏωD/εF\hbar\omega_{\mathrm D}/\varepsilon _{\mathrm F} で測られるが、定数の引力に置き換えた誤差の評価は無い）　｜　行き先 近似の数理 第8章・近似の数理 第13章

近似の裏付け

型 B（極限）　｜　小さいもの 1/N1/N（殻の中の対の数）→0\to0。対の平均場で c−k↓ck↑c_{-\bm{k}\downarrow}c_{\bm{k}\uparrow} のゆらぎの2次を捨てる　｜　証明 条件付き（対の相互作用を k\bm{k} によらない定数にした簡約した HH (5.4.2) に限り、熱力学極限で平均場の自由エネルギーが厳密になる〔近似の数理 第13章〕。k\bm{k} に依る引力やゆらぎの大きい低次元は要確認）　｜　行き先 近似の数理 第6章・近似の数理 第13章

近似の裏付け

型 B（極限）　｜　小さいもの (Tc−T)/Tc→0(T_{\mathrm c}-T)/T_{\mathrm c}\to0（BCS から Ginzburg–Landau へ）　｜　証明 条件付き（BCS の自由エネルギー汎関数から、外場が長さ h−1h^{-1} の尺度でゆっくり変わり Tc−T∝h2T_{\mathrm c}-T\propto h^2 の極限で GL 汎関数が出ることが証明されている〔R. L. Frank, C. Hainzl, R. Seiringer, J. P. Solovej (2012), J. Amer. Math. Soc. 25, 667〕）　｜　行き先 近似の数理 第6章・近似の数理 第13章

近似の裏付け

型 B（極限）　｜　小さいもの λ→0\lambda\to0（kBTc/ℏωD→0k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}/\hbar\omega_{\mathrm D}\to0。弱い結合）と、ゆらぎの比 kBTc/(12N0Δ02ξ03)→0k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}/(\frac12N_0\Delta_0^2\xi_0^3)\to0　｜　証明 要確認（弱い結合の極限で Eliashberg の理論が BCS に戻ること、ゆらぎの補正が TcT_{\mathrm c} の近くの狭い範囲に限られることの厳密な形は、この章では原論文で確かめていない）　｜　行き先 近似の数理 第7章・近似の数理 第13章

例題 5.4.5　Coulomb の反発があっても超伝導になる理由と、ゆらぎの小ささ ★★

オリジナルアルミニウムで εF=11.65 eV\varepsilon _{\mathrm F}=11.65\,\mathrm{eV}、ℏωD=kB×428 K\hbar\omega_{\mathrm D}= k_{\mathrm B}\times428\,\mathrm K、Coulomb の反発の大きさを μ=0.25\mu=0.25 とする（与えられた値として使う）。転移温度の式は (5.4.17) の λ\lambda を λph−μ∗\lambda_{\mathrm{ph}}-\mu^* に置き換えたもの（λph\lambda_{\mathrm{ph}} はフォノンによる引力だけの結合の強さ）とする。

  1. (1) μ∗\mu^* を求めよ。例題 5.4.3 の λ=0.166\lambda=0.166 が λph−μ∗\lambda_{\mathrm{ph}}-\mu^* に当たるとすると、λph\lambda_{\mathrm{ph}} はいくらか。
  2. (2) 遅れの効果が無く反発が殻の中でも μ\mu のまま働くとしたら、TcT_{\mathrm c} はいくらになるか。
  3. (3) Tc∝M−αT_{\mathrm c}\propto M^{-\alpha} の指数 α\alpha が 12[1−μ∗2/(λph−μ∗)2]\frac12\bigl[1-\mu^{*2}/(\lambda_{\mathrm{ph}}-\mu^*)^2\bigr] になることを示し、その値を求めよ（μ\mu と εF\varepsilon _{\mathrm F} は MM によらない）。
  4. (4) 例題 5.4.3・5.4.4 の値で、ゆらぎの比 kBTc/(12N0Δ02ξ03)k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}/(\frac12N_0\Delta_0^2\xi_0^3) を求めよ。
解答

(1) εF/ℏωD=11.65 eV/36.9 meV=316\varepsilon _{\mathrm F}/\hbar\omega_{\mathrm D}=11.65\,\mathrm{eV}/36.9\,\mathrm{meV}=316、ln⁡316=5.76\ln316=5.76 なので、μ∗=0.25/(1+0.25×5.76)=0.103\mu^*=0.25/(1+0.25\times5.76)=0.103 である。λph=0.166+0.103=0.269\lambda_{\mathrm{ph}}=0.166+0.103=0.269。反発は殻の外のエネルギーの状態を経由するうちに 40%40\% ほどに縮み、引力を打ち消しきれない。

(2) 指数は λph−μ=0.269−0.25=0.018\lambda_{\mathrm{ph}}-\mu=0.269-0.25=0.018 で、Tc=1.134×428 K×e−1/0.018≈1.7×10−21 KT_{\mathrm c}=1.134\times428\,\mathrm K\times\mathrm{e}^{-1/0.018}\approx1.7\times10^{-21}\,\mathrm K になる。事実上、超伝導は起きない。反発が縮むのは、電子の運動の時間の尺度 ℏ/εF\hbar/\varepsilon _{\mathrm F} に比べて、イオンの応答の時間 1/ωD1/\omega_{\mathrm D} がずっと長いためである。

(3) ln⁡Tc=ln⁡ℏωD−1/(λph−μ∗)+\ln T_{\mathrm c}=\ln\hbar\omega_{\mathrm D}-1/(\lambda_{\mathrm{ph}}-\mu^*)+定数で、λph\lambda_{\mathrm{ph}} は MM によらない（N0N_0 と電子・イオンの結合の比で決まる）。(5.4.30) から dμ∗/dln⁡ωD=μ∗2\mathrm{d}\mu^*/\mathrm{d}\ln\omega_{\mathrm D}=\mu^{*2} なので

dln⁡Tcdln⁡ωD=1−μ∗2(λph−μ∗)2\frac{\mathrm{d}\ln T_{\mathrm c}}{\mathrm{d}\ln\omega_{\mathrm D}}=1-\frac{\mu^{*2}}{(\lambda_{\mathrm{ph}}-\mu^*)^2}

で、ωD∝M−1/2\omega_{\mathrm D}\propto M^{-1/2} から α=12[1−μ∗2/(λph−μ∗)2]\alpha=\frac12\bigl[1-\mu^{*2}/(\lambda_{\mathrm{ph}}-\mu^*)^2\bigr] を得る。値は 12[1−(0.103/0.166)2]=0.31\frac12[1-(0.103/0.166)^2]=0.31 である。Coulomb の反発があると同位体効果の指数は 12\frac12 より小さくなる。

(4) 12N0Δ02=29.7 J m−3\frac12N_0\Delta_0^2=29.7\,\mathrm{J\,m^{-3}}、ξ03=(2.37×10−6)3=1.34×10−17 m3\xi_0^3=(2.37\times10^{-6})^3=1.34\times10^{-17}\,\mathrm{m^3} で、その積は 3.98×10−16 J3.98\times10^{-16}\,\mathrm J。kBTc=1.62×10−23 Jk_{\mathrm B} T_{\mathrm c}=1.62\times10^{-23}\,\mathrm J との比は 4.1×10−84.1\times10^{-8} である。コヒーレンス長の体積の中の凝縮エネルギーは熱のエネルギーの 10710^7 倍以上あり、秩序変数の熱ゆらぎは TcT_{\mathrm c} の極めて近くでしか見えない。

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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