この章のまとめ

(1) $K(3)^b$ は $K(2)^a=4^a$ と $4^{a+1}$ の間にあるので、$K(3)\in[4^{a/b},4^{(a+1)/b}]$ である。$b=1$：$2\le3<4$ から $a=1$、$K(3)\in[4,16]$。$b=2$：$8\le9<16$ から $a=3$、$K(3)\in[8,16]$。$b=5$：$128\le243<256$ から $a=7$、$K(3)\in[4^{7/5},4^{8/5}]\approx[6.964,9.190]$。$b=12$：$2^{19}=524288\le3^{12}=531441<2^{20}$ から $a=19$、$K(3)\in[4^{19/12},4^{20/12}]\approx[8.980,10.079]$。4つの区間の共通部分 $[8.980,9.190]$ に入る整数は $9$ だけなので、$K(3)=9=3^2$ である。$b$ を大きくすれば区間は $3^{\log_24}=9$ へ縮み、定理 9.5.3 の段階1を数値でたどったことになる。

(2) $x$ 軸まわりの角 $\theta$ の回転は $\bm{h}=(\theta/t,0,0)$ の向きの回転で、$\hat H=\frac\hbar2\lvert \bm{h}\rvert \sigma_x$ から $\hat U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\theta/2)\sigma_x}$。$\theta=\pi/2$ で

$$\hat U=\cos\frac\pi4\,\hat1-\mathrm{i}\sin\frac\pi4\,\sigma_x=\frac{1}{\sqrt2}(\hat1-\mathrm{i}\sigma_x)$$

である。$\dot{\bm{r}}=\bm{h}\times\bm{r}$ の回転で $| g \rangle$（$(0,0,-1)$）は $(0,1,0)$ へ移る（$\bm{h}\times(0,0,-1)=(0,\lvert \bm{h}\rvert ,0)$ の向きに倒れる）。状態ベクトルでは $\hat U| g \rangle =\frac1{\sqrt2}(| g \rangle -\mathrm{i}| e \rangle )$。$\hat U$ と $-\hat U$ は同じ回転を与え、それ以外の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\hat U$ も同じ状態の変換を与えるが、行列式 $1$ に揃えた $SU(2)$ の中では $\pm\hat U$ の2個である（$SU(2)\to SO(3)$ が2対1）。（検算では、$z$ 軸の正の向きの $(0,0,1)$ が $(0,-1,0)$ へ移ることを数値で確かめ、上と同じ回転の向きであることを確認した。）

(3) 命題 9.5.5 の $c=\pm\frac12$ なので、局所的な実の効果の積はどれも $\frac14\operatorname{Tr}\hat E_A\operatorname{Tr}\hat E_B$ を与え、区別できない。大域的な測定で当てる確率の最大値は $\frac12\bigl(1+\frac12\lVert \hat\rho_+-\hat\rho_-\rVert _1\bigr)$ で、$\hat\rho_+-\hat\rho_-=\frac14\sigma_y\otimes\sigma_y$ の固有値は $\pm\frac14$（各2重）なので $\lVert \cdot\rVert _1=1$、最大値は $\frac34$ である。$\sigma_y\otimes\sigma_y$ を測り、$+1$ なら $\hat\rho_+$、$-1$ なら $\hat\rho_-$ と答えればよい（期待値は $\pm\frac12$）。

(4) $\sigma_y$ の固有ベクトル $| \pm y \rangle =(| 0 \rangle \pm\mathrm{i}| 1 \rangle )/\sqrt2$ で $| \Psi_1 \rangle$ を展開すると、各結果の確率は $\frac12$、A に残る状態は $\sqrt{3/4}| 0 \rangle \mp\mathrm{i}\sqrt{1/4}| 1 \rangle$ である。その Bloch ベクトルは $r_y=\mp2\sqrt{3/4}\sqrt{1/4}=\mp\frac{\sqrt3}{2}$、$r_x=0$、$r_z=\frac12$ で、$(0,\mp\frac{\sqrt3}2,\frac12)$ の純粋な状態である。平均は $(0,0,\frac12)$ で、例題 9.5.5 の $\sigma_x$ の場合と同じ $\hat\rho_A$ に戻る。$\hat\rho_A$ の純粋度は $\operatorname{Tr}\hat\rho_A^2=\frac{1+\lvert \bm{r}\rvert ^2}{2}=\frac{1+1/4}{2}=\frac58$ である。

(5) (1) は $K=N^2$ の決定で、状態が $N\times N$ の密度行列で書けること（Q1・Q3 の器の大きさ）に当たる。(2) は連続な可逆の変換が $SU(2)$ のユニタリで実現されることで、Q5 に当たる。(3) は局所トモグラフィーが実数を除くことで、Q6（テンソル積）と、数が複素数であること（Q1 のヒルベルト空間の係数体）に当たる。(4) は純化で、混合状態が大きな系の純粋な状態の一部であることを言い、Q1（純粋な状態は射線）と Q6 を合わせた浄化に当たる（第4部第2章）。