この章のまとめ

(1) 作用角変数への変換は正準変換なので体積を保ち、$\mathrm{d} q_j\,\mathrm{d} p_j=\mathrm{d}\theta_j\,\mathrm{d} J_j$ である。$\theta_j$ の積分は $2\pi$ を与えるので、$\varepsilon_j=\omega J_j$ と置くと

$$\Phi(E)=\prod_j\frac{2\pi}{h\omega}\int_{\sum_j\varepsilon_j\le E,\ \varepsilon_j\ge0}\prod_j\mathrm{d}\varepsilon_j=\Bigl(\frac{1}{\hbar\omega}\Bigr)^N\cdot\frac{E^N}{N!}.$$

最後の $E^N/N!$ は $N$ 次元の単体 $\{\varepsilon_j\ge0,\ \sum\varepsilon_j\le E\}$ の体積である（$N=1,2,3$ で $E$, $E^2/2$, $E^3/6$）。ミクロカノニカル分布は $H=\sum_jH_j$ の関数 $F(H)$ なので、$\{H,F(H)\}=F'(H)\{H,H\}=0$ で、Liouville 方程式 (3.2.8) から $\partial\rho/\partial t=0$ である。

(2) $\ln\Phi=N\ln\frac{E}{\hbar\omega}-\ln N!\approx N\ln\frac{E}{N\hbar\omega}+N$。$S= k_{\mathrm B}[N\ln\frac{E}{N\hbar\omega}+N]$ を $E$ で微分して $\frac1T=\frac{N k_{\mathrm B}}{E}$、すなわち $E=N k_{\mathrm B} T$。1つの振動子に $k_{\mathrm B} T$（運動エネルギーと位置エネルギーに $\frac12 k_{\mathrm B} T$ ずつ）が割り当てられる。

(3) 式 (3.2.15) で、系1を振動子1つ（$g_1=1/(\hbar\omega)$、一定）、系2を残りの $N-1$ 個（$g_2(E_2)=E_2^{N-2}/[(N-2)!(\hbar\omega)^{N-1}]$）とすると

$$P(E_1)=\frac{g_1\,g_2(E-E_1)}{g(E)}=\frac{(N-1)(E-E_1)^{N-2}}{E^{N-1}}\qquad(0\le E_1\le E).$$

$\int_0^EP\,\mathrm{d} E_1=1$ で、平均は $\int_0^EE_1P\,\mathrm{d} E_1=E/N$ である。$N=10$ で $E_1>E/2$ となる確率は $\int_{E/2}^EP\,\mathrm{d} E_1=(1/2)^{N-1}=1/512\approx0.00195$。（同じ $E/N= k_{\mathrm B} T$ で次の章の Boltzmann 因子を使うと $\mathrm{e}^{-E_1/ k_{\mathrm B} T}$ の裾は $\mathrm{e}^{-5}=0.00674$ で、$N=10$ ではまだ違う。）$E=N k_{\mathrm B} T$ と置いて $N\to\infty$ とすると

$$P(E_1)=\frac{N-1}{N k_{\mathrm B} T}\Bigl(1-\frac{E_1}{N k_{\mathrm B} T}\Bigr)^{N-2}\longrightarrow\frac{1}{ k_{\mathrm B} T}\mathrm{e}^{-E_1/ k_{\mathrm B} T}$$

である。全体がミクロカノニカル分布でも、大きな系の中の1つの振動子のエネルギーは Boltzmann 因子 $\mathrm{e}^{-E_1/ k_{\mathrm B} T}$ に従って分布する。これがカノニカル分布（第3部第3章）の出どころである。

(4) 各振動子の作用変数 $J_j$ は断熱不変量なので、ゆっくり変える間 $\Phi$ は変わらない。弱い結合でエネルギーが振動子の間を行き来する場合にも全体の $\Phi(E)$ が断熱不変量になること（3.2.5節で予告した P. Hertz の定理）を使う。その証明は第3部第5章で行う。$\Phi=\frac{1}{N!}(E/\hbar\omega)^N$ が一定なので $E/\omega$ が一定で、$E$ は $2$ 倍になる。$E=N k_{\mathrm B} T$ から $T$ も $2$ 倍、$S= k_{\mathrm B}\ln\Phi$ は変わらない（$1$ 倍）。これは1つの振動子で $E=\omega J$ が $\omega$ に比例して増えること（第1部第14章）を $N$ 個に広げたものである。

(5) $W_{\mathrm q}=\binom{6}{2}=15$。古典では $g(E)=\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} E}=\frac{E^{N-1}}{(N-1)!(\hbar\omega)^N}$ なので $W_{\mathrm{cl}}=\frac{1}{2}\bigl(M+\frac32\bigr)^2=\frac{(5.5)^2}{2}=15.125$。一般の $M$ では

$$W_{\mathrm{cl}}-W_{\mathrm q}=\frac{M^2+3M+\frac94}{2}-\frac{M^2+3M+2}{2}=\frac18$$

で、$M$ によらない。状態の数そのものは $M^2$ で増えるので、相対的な差は $M$ が大きいほど小さくなる。零点エネルギー $\frac32\hbar\omega$ を $E$ に含めて数えたことで、差が $\mathcal{O}(M)$ でなく定数に収まっている。