相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第6部 第5章 §6.5.2 ★★★ 1段の符号化で誤りが ε → A ε 2 \varepsilon \to A\varepsilon ^2 ε → A ε 2 ε t h ( ε / ε t h ) 2 ℓ \varepsilon _{\mathrm{th}}(\varepsilon /\varepsilon _{\mathrm{th}})^{2^\ell} ε th ( ε / ε th ) 2 ℓ
1段の符号化
距離3の符号（t = 1 t=1 t = 1 拡張した長方形 と呼ぶ（Aliferis–Gottesman–Preskill の用語）。拡張した長方形の中の物理的な場所の数を G G G A A A
ε ( 1 ) ≤ A ε 2 ( A ≤ ( G 2 ) ) (6.5.2) \varepsilon ^{(1)}\le A\varepsilon ^2\qquad\Bigl(A\le\binom{G}{2}\Bigr)\tag{6.5.2} ε ( 1 ) ≤ A ε 2 ( A ≤ ( 2 G ) ) ( 6.5.2 )
で押さえられる。これは第3部第9章 の繰り返し符号で ε L ≈ 3 ε 2 \varepsilon _{\mathrm L}\approx3\varepsilon ^2 ε L ≈ 3 ε 2 A A A A ε 2 < ε A\varepsilon ^2<\varepsilon A ε 2 < ε ε < 1 / A \varepsilon <1/A ε < 1/ A
符号の中に符号を入れる
1段目で作った論理ゲートを新しい「物理的な部品」とみなし、同じ符号と同じガジェットの作り方をもう一度当てる。2段目の論理量子ビットは、1段目の論理量子ビットを n n n G G G ε ( 1 ) \varepsilon ^{(1)} ε ( 1 ) ε ( 2 ) ≤ A ( ε ( 1 ) ) 2 \varepsilon ^{(2)}\le A(\varepsilon ^{(1)})^2 ε ( 2 ) ≤ A ( ε ( 1 ) ) 2 ℓ \ell ℓ ε t h ≔ 1 / A \varepsilon _{\mathrm{th}}\coloneqq1/A ε th : = 1/ A
ε ( ℓ ) ≤ 1 A ( A ε ( ℓ − 1 ) ) 2 ≤ ⋯ ≤ ε t h ( ε ε t h ) 2 ℓ (6.5.3) \varepsilon ^{(\ell)}\le\frac1A\bigl(A\varepsilon ^{(\ell-1)}\bigr)^2\le\cdots\le\varepsilon _{\mathrm{th}}\Bigl(\frac{\varepsilon }{\varepsilon _{\mathrm{th}}}\Bigr)^{2^\ell}\tag{6.5.3} ε ( ℓ ) ≤ A 1 ( A ε ( ℓ − 1 ) ) 2 ≤ ⋯ ≤ ε th ( ε th ε ) 2 ℓ ( 6.5.3 )
を得る。ε < ε t h \varepsilon <\varepsilon _{\mathrm{th}} ε < ε th ε / ε t h < 1 \varepsilon /\varepsilon _{\mathrm{th}}<1 ε / ε th < 1 2 ℓ 2^\ell 2 ℓ ε > ε t h \varepsilon >\varepsilon _{\mathrm{th}} ε > ε th ε t h \varepsilon _{\mathrm{th}} ε th x ↦ A x 2 x\mapsto Ax^2 x ↦ A x 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 6.5.1 ）。
図 6.5.1 連結の段数 ℓ \ell ℓ ε ( ℓ ) = ε t h ( ε / ε t h ) 2 ℓ \varepsilon ^{(\ell)}=\varepsilon _{\mathrm{th}}(\varepsilon /\varepsilon _{\mathrm{th}})^{2^\ell} ε ( ℓ ) = ε th ( ε / ε th ) 2 ℓ ε t h = 10 − 2 \varepsilon _{\mathrm{th}}=10^{-2} ε th = 1 0 − 2 ε = ε t h \varepsilon =\varepsilon _{\mathrm{th}} ε = ε th
しきい値定理
連結の段数は回路の大きさから決まる。回路の場所の数を L L L δ \delta δ 第6部第1章 の誤りの積み上がりの補題と同じく和で押さえられるので、L ε ( ℓ ) ≤ δ L\,\varepsilon ^{(\ell)}\le\delta L ε ( ℓ ) ≤ δ (6.5.3) から
2 ℓ ≥ ln ( L ε t h / δ ) ln ( ε t h / ε ) (6.5.4) 2^\ell\ge\frac{\ln(L\varepsilon _{\mathrm{th}}/\delta)}{\ln(\varepsilon _{\mathrm{th}}/\varepsilon )}\tag{6.5.4} 2 ℓ ≥ ln ( ε th / ε ) ln ( L ε th / δ ) ( 6.5.4 )
を満たす最小の ℓ \ell ℓ ℓ \ell ℓ G ℓ = ( 2 ℓ ) log 2 G G^\ell=(2^\ell)^{\log_2G} G ℓ = ( 2 ℓ ) l o g 2 G [ ln ( L / δ ) ] log 2 G \bigl[\ln(L/\delta)\bigr]^{\log_2G} [ ln ( L / δ ) ] l o g 2 G L L L
定理 6.5.2（しきい値定理 ★★★）
局所確率的雑音（各場所が独立に確率 ε \varepsilon ε ε t h > 0 \varepsilon _{\mathrm{th}}>0 ε th > 0 ε < ε t h \varepsilon <\varepsilon _{\mathrm{th}} ε < ε th L L L δ \delta δ O ( L [ ln ( L / δ ) ] c ) \mathcal{O}\bigl(L\,[\ln(L/\delta)]^{c}\bigr) O ( L [ ln ( L / δ ) ] c ) c c c
証明の骨格 距離3の符号を連結する。各段のガジェットを誤り耐性を持つように作り、ℓ \ell ℓ ( ℓ − 1 ) (\ell-1) ( ℓ − 1 ) ℓ \ell ℓ ( ℓ − 1 ) (\ell-1) ( ℓ − 1 ) ε ( ℓ − 1 ) \varepsilon ^{(\ell-1)} ε ( ℓ − 1 ) (6.5.3) が成り立つ。段数を式 (6.5.4) で選べば、上の資源の勘定から主張が従う。
定理は1996年から1998年にかけて複数のグループが独立に示した1 1 P. W. Shor (1996), Proc. 37th FOCS, 56（誤り耐性の構成）。D. Aharonov and M. Ben-Or (1997), Proc. 29th STOC, 176（雑誌版 SIAM J. Comput. 38 , 1207 (2008)）。A. Yu. Kitaev (1997), Russian Math. Surveys 52 , 1191。E. Knill, R. Laflamme and W. H. Zurek (1998), Science 279 , 342。ε t h ≥ 2.73 × 10 − 5 \varepsilon _{\mathrm{th}}\ge2.73\times10^{-5} ε th ≥ 2.73 × 1 0 − 5 2 2 P. Aliferis, D. Gottesman and J. Preskill (2006), Quantum Inf. Comput. 6 , 97。6.5.4 節）。
近似の裏付け
型 B（極限） ｜ 小さいもの 1つの場所の故障の確率 ε \varepsilon ε 証明 条件付き（雑音が局所的で確率的。相関がべきで減衰する非 Markov の雑音への拡張は Aharonov–Kitaev–Preskill 2006, Phys. Rev. Lett. 96 , 050504） ｜ 行き先 近似の数理 第14章
例題 6.5.2 連結の段数と資源の見積もり ★★
オリジナル しきい値が ε t h = 10 − 2 \varepsilon _{\mathrm{th}}=10^{-2} ε th = 1 0 − 2 G = 100 G=100 G = 100 ε = 10 − 3 \varepsilon =10^{-3} ε = 1 0 − 3 L = 10 12 L=10^{12} L = 1 0 12 δ = 0.01 \delta=0.01 δ = 0.01
(1) 論理ゲート1つに許される失敗の確率はいくらか。(2) 要る段数 ℓ \ell ℓ (6.5.4) から求め、そのときの ε ( ℓ ) \varepsilon ^{(\ell)} ε ( ℓ ) ℓ \ell ℓ (3) 論理量子ビット1つあたりの物理量子ビットの数と、論理ゲート1つあたりの場所の数を求めよ。
解答 (1) L ε ( ℓ ) ≤ δ L\varepsilon ^{(\ell)}\le\delta L ε ( ℓ ) ≤ δ ε ( ℓ ) ≤ δ / L = 10 − 2 / 10 12 = 10 − 14 \varepsilon ^{(\ell)}\le\delta/L=10^{-2}/10^{12}=10^{-14} ε ( ℓ ) ≤ δ / L = 1 0 − 2 /1 0 12 = 1 0 − 14
(2) ln ( L ε t h / δ ) = ln ( 10 12 ⋅ 10 − 2 / 10 − 2 ) = ln 10 12 \ln(L\varepsilon _{\mathrm{th}}/\delta)=\ln(10^{12}\cdot10^{-2}/10^{-2})=\ln10^{12} ln ( L ε th / δ ) = ln ( 1 0 12 ⋅ 1 0 − 2 /1 0 − 2 ) = ln 1 0 12 ln ( ε t h / ε ) = ln 10 \ln(\varepsilon _{\mathrm{th}}/\varepsilon )=\ln10 ln ( ε th / ε ) = ln 10 2 ℓ ≥ 12 2^\ell\ge12 2 ℓ ≥ 12 ℓ = 4 \ell=4 ℓ = 4 2 4 = 16 2^4=16 2 4 = 16 ε ( 4 ) = 10 − 2 × ( 10 − 1 ) 16 = 10 − 18 ≤ 10 − 14 \varepsilon ^{(4)}=10^{-2}\times(10^{-1})^{16}=10^{-18}\le10^{-14} ε ( 4 ) = 1 0 − 2 × ( 1 0 − 1 ) 16 = 1 0 − 18 ≤ 1 0 − 14 ℓ = 3 \ell=3 ℓ = 3 ε ( 3 ) = 10 − 2 × 10 − 8 = 10 − 10 \varepsilon ^{(3)}=10^{-2}\times10^{-8}=10^{-10} ε ( 3 ) = 1 0 − 2 × 1 0 − 8 = 1 0 − 10 10 − 14 10^{-14} 1 0 − 14
(3) 1段ごとに量子ビットが7倍になるので 7 4 = 2401 7^4=2401 7 4 = 2401 G = 100 G=100 G = 100 100 4 = 10 8 100^4=10^8 10 0 4 = 1 0 8 2 ℓ ∝ ln L 2^\ell\propto\ln L 2 ℓ ∝ ln L L L L 10 12 10^{12} 1 0 12 2 ℓ ≥ 24 2^\ell\ge24 2 ℓ ≥ 24 ℓ = 5 \ell=5 ℓ = 5 10 10 10 ln ( ε t h / ε ) \ln(\varepsilon _{\mathrm{th}}/\varepsilon ) ln ( ε th / ε ) 2 ℓ ≥ 6 2^\ell\ge6 2 ℓ ≥ 6 ℓ = 3 \ell=3 ℓ = 3 7 3 = 343 7^3=343 7 3 = 343
1 P. W. Shor (1996), Proc. 37th FOCS, 56（誤り耐性の構成）。D. Aharonov and M. Ben-Or (1997), Proc. 29th STOC, 176（雑誌版 SIAM J. Comput. 38 , 1207 (2008)）。A. Yu. Kitaev (1997), Russian Math. Surveys 52 , 1191。E. Knill, R. Laflamme and W. H. Zurek (1998), Science 279 , 342。
2 P. Aliferis, D. Gottesman and J. Preskill (2006), Quantum Inf. Comput. 6 , 97。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
