この章のまとめ

(1) $| \Phi^+ \rangle$ は $\mathbf 1/4$ の固有ベクトルでもあるので、$\hat\rho_p$ の固有値は $| \Phi^+ \rangle$ の方向で $p+(1-p)/4=(1+3p)/4=0.925$、それに直交する3次元で $(1-p)/4=0.025$。$S(AB)=-0.925\ln0.925-3\times0.025\ln0.025=0.0721+0.2767=0.3488$ nat。$\hat\rho_A=\hat\rho_B=\mathbf 1/2$ なので$I(A;B)=2\ln2-0.3488=1.0375$ nat、$S(A\,|\,B)=0.3488-0.6931=-0.3444$ nat。条件付きエントロピーが負なので、$A$ と $B$ はもつれている。

(2) $\mathcal N_B$ は $B$ についての非対角成分を消す。$| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |$ は $\frac12(| 00 \rangle \langle 00 |+| 11 \rangle \langle 11 |)$ に、$\mathbf 1/4$ はそのままになるので、後の状態は対角で、成分は $| 00 \rangle$、$| 11 \rangle$ が $(1+p)/4=0.475$、$| 01 \rangle$、$| 10 \rangle$ が $(1-p)/4=0.025$。$A$ と $B'$ の値が一致する確率が $(1+p)/2=0.95$ の古典的な相関である。$S(AB')=\ln2+h_{\mathrm b}(0.95)$ で、$h_{\mathrm b}(0.95)=0.1985$ nat。周辺は一様のままなので$I(A;B')=\ln2-h_{\mathrm b}(0.95)=0.4946$ nat、$S(A\,|\,B')=h_{\mathrm b}(0.95)=0.1985$ nat $\ge0$。$0.4946\le1.0375$ で式 (3.3.11) が成り立つ。

(3) CNOT は $B'E$ の上の等長写像なので、$I(A;B'E)=I(A;B)=1.0375$ nat のまま変わらない（$E$ は初め $A$、$B$ と無相関の純粋状態で、ユニタリは $A$ に触れない）。連鎖律 $I(A;B'E)=I(A;B')+I(A;E\,|\,B')$ から $I(A;E\,|\,B')=1.0375-0.4946=0.5429$ nat。強劣加法性からこの量は非負で、位相緩和で失われた相互情報量 $0.5429$ nat は、捨てた補助系 $E$ が $B'$ のもとで $A$ と持っていた相関である。例題 3.3.1 の $p=1$ の場合（$\ln2$）を $p<1$ に広げた結果になっている。

(4) $ABC$ は純粋なので $S(C)=S(AB)=0.3488$ nat、$S(AC)=S(B)=\ln2$。よって $S(A\,|\,C)=S(AC)-S(C)=0.6931-0.3488=+0.3444$ nat $=-S(A\,|\,B)$、$I(A;C)=S(A)+S(C)-S(AC)=0.3488$ nat。$I(A;B)+I(A;C)=1.0375+0.3488=1.3863=2\ln2=2S(A)$。一般に純粋な $ABC$ では $I(A;B)+I(A;C)=2S(A)+S(B)+S(C)-S(AB)-S(AC)=2S(A)$（$S(AB)=S(C)$、$S(AC)=S(B)$）で、$A$ が持つ相関の総量 $2S(A)$ を $B$ と $C$ で分け合っている。$B$ が $1.0375$ を取るので、$C$ には $0.3488$ しか残らない。

(5) そのような $\hat\rho_{ABC}$ があったとすると、弱単調性を $A$ を共通の系として書いた $S(A\,|\,B)+S(A\,|\,C)\ge0$（式 (3.3.10) の $A$ と $B$ を入れ替えたもの）の左辺は$-0.3444+(-0.3444)=-0.6887<0$ となり矛盾する。$A$ は $B$ とも $C$ とも同じ強さでもつれることはできない。(4) の純粋化はこの不等式を等号にする場合で、$S(A\,|\,B)=-0.3444$ に対し $S(A\,|\,C)=+0.3444$ である。