この章のまとめ

(1) $\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon }=\mathrm{e}^{-\ln3}=1/3$ なので $Z=1+\frac13=\frac43$、$p_{\mathrm{eq}}=\bigl(\frac34,\frac14\bigr)$、$F_{\mathrm{eq}}=- k_{\mathrm B} T\ln\frac43$。$p_0$ では平均エネルギーが $\varepsilon$、$H(p_0)=0$ なので $F[p_0]=\varepsilon = k_{\mathrm B} T\ln3$。よって

$$F[p_0]-F_{\mathrm{eq}}= k_{\mathrm B} T\Bigl(\ln3+\ln\frac43\Bigr)= k_{\mathrm B} T\ln4 .$$

一方 $D(p_0\,\|\,p_{\mathrm{eq}})=1\times\ln\frac{1}{1/4}=\ln4$ で、式 (1.1.11) のとおり一致する。

(2) $Wp_{\mathrm{eq}}$ の第1成分は $\frac56\cdot\frac34+\frac12\cdot\frac14=\frac58+\frac18=\frac34$、第2成分は $\frac16\cdot\frac34+\frac12\cdot\frac14=\frac18+\frac18=\frac14$ で、$p_{\mathrm{eq}}$ は動かない。g から e へ移る確率の流れ $a\,p_{\mathrm{eq}}(\mathrm g)=\frac18$ と、e から g へ移る流れ $b\,p_{\mathrm{eq}}(\mathrm e)=\frac18$ が釣り合っている（詳細つり合い）。順に掛けると

$$p_1=\Bigl(\frac12,\frac12\Bigr),\qquad p_2=\Bigl(\frac23,\frac13\Bigr),\qquad p_3=\Bigl(\frac{13}{18},\frac{5}{18}\Bigr).$$

相対エントロピーは

$$D(p_1\,\|\,p_{\mathrm{eq}})=\frac12\ln\frac{1/2}{3/4}+\frac12\ln\frac{1/2}{1/4}=\frac12\ln\frac43\approx0.1438,$$

$D(p_2\,\|\,p_{\mathrm{eq}})=\frac23\ln\frac89+\frac13\ln\frac43\approx0.01737$、$D(p_3\,\|\,p_{\mathrm{eq}})\approx0.002010$ で、$D(p_0\,\|\,p_{\mathrm{eq}})=\ln4\approx1.386$ から減り続ける。これは式 (1.1.12) の具体例で、各ステップで自由エネルギー $F[p_t]=F_{\mathrm{eq}}+ k_{\mathrm B} T\,D(p_t\,\|\,p_{\mathrm{eq}})$ も減り続ける。

(3) $p_{t+1}(\mathrm e)=a\,p_t(\mathrm g)+(1-b)\,p_t(\mathrm e)=a+(1-a-b)\,p_t(\mathrm e)$ で、$p_{\mathrm{eq}}(\mathrm e)=\frac14$ も同じ式を満たすので、引き算して $\delta_{t+1}=(1-a-b)\,\delta_t=\frac13\delta_t$。$\delta_0=1-\frac14=\frac34$ から $\delta_t=\frac34\bigl(\frac13\bigr)^t$。$\frac13$ は $W$ の $1$ でない方の固有値である。例題 1.1.3(2) の $J(\theta)=1/(\theta(1-\theta))$ を $\theta=\frac14$ で評価すると $J=\frac{16}{3}$ で、$D(p_t\,\|\,p_{\mathrm{eq}})\approx\frac12J\delta_t^2=\frac83\delta_t^2$。$\delta_t$ が毎ステップ $\frac13$ 倍になるので、$D$ はおよそ $\frac19$ 倍ずつ減る。実際、$t=2,3$ で近似値は $0.01852$, $0.002058$、厳密値は $0.01737$, $0.002010$ で、比は $1.066$, $1.024$ と $1$ に近づく。$t=3$ から $t=4$ への比は $0.113$ で $\frac19\approx0.111$ に近い。

(4) $D(p_0\,\|\,p_{\mathrm{eq}})=\ln4=2\ln2$ なので、ちょうど 2 ビットである。$T=300\,\mathrm K$ で $k_{\mathrm B} T=4.14\times10^{-21}\,\mathrm J=0.02585\,\mathrm{eV}$ なので、$\varepsilon = k_{\mathrm B} T\ln3\approx0.0284\,\mathrm{eV}$、取り出せる仕事の上限は $k_{\mathrm B} T\ln4\approx5.74\times10^{-21}\,\mathrm J\approx0.0358\,\mathrm{eV}$ である。上限が $\varepsilon$ より大きいのは、励起状態に確実にいるという知識（2 ビット）の分の $k_{\mathrm B} T\ln\frac43$ が、エネルギーに上乗せされているからである。

(5) $D(p_0\,\|\,p_{\mathrm{eq}})-D(p_1\,\|\,p_{\mathrm{eq}})=\ln4-\frac12\ln\frac43\approx1.242$ nat $\approx1.79$ ビット。式 (1.1.11) から、これに $k_{\mathrm B} T$ を掛けた $k_{\mathrm B} T\times1.242$ が最初の1ステップで減った自由エネルギーで、熱浴へ流れた熱 $Q_{\mathrm{out}}$ と系のエントロピーの変化を使うと、系と熱浴を合わせたエントロピーの増加 $\Delta S_{\mathrm{系}}+Q_{\mathrm{out}}/T$ に $T$ を掛けたものに等しい。仕事を取り出さずに緩和させたので、取り出せたはずの仕事のうち $k_{\mathrm B} T\times1.242$ がこの1ステップで失われ、系と熱浴を合わせたエントロピーが $k_{\mathrm B}\times1.242$ だけ増えた。この「失われた $D$ ＝ 生じたエントロピー」という読み方を、1本1本の経路の確率の言葉で精密にしたものが 第4部第3章 のエントロピー生成である。