この章のまとめ

(1) $\hat H_{\mathrm e}=\kappa\begin{pmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\ \sin\varphi&-\cos\varphi\end{pmatrix}$ の固有値は $\pm\kappa$ で、$\varphi$ に依らずギャップは $2\kappa$ である。低い方の固有ベクトルは例題 4.9.7 の $| n(\varphi) \rangle =(-\sin\frac\varphi2,\ \cos\frac\varphi2)^{\mathsf T}$ で、$\varphi\to\varphi+2\pi$ で $\sin\frac\varphi2$, $\cos\frac\varphi2$ がともに符号を変えるので $| n \rangle \to-| n \rangle$。$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi/2}$ も1周で $-1$ 倍になるので、$| \tilde n(\varphi) \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi/2}| n(\varphi) \rangle$ は1価である。

(2) $| n \rangle$ は実数で規格化されているので $\langle n | \partial_\varphi n \rangle =\frac12\partial_\varphi\langle n | n \rangle =0$。$\partial_\varphi| \tilde n \rangle =\frac{\mathrm{i}}2| \tilde n \rangle +\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi/2}| \partial_\varphi n \rangle$ から$\langle \tilde n | \partial_\varphi\tilde n \rangle =\frac{\mathrm{i}}2$、$A_\varphi=\mathrm{i}\cdot\frac{\mathrm{i}}2=-\frac12$。1周の Berry 位相は $\oint A_\varphi\,\mathrm{d}\varphi=-\pi\equiv\pi$ である。4.9.4節の言葉では、$(\cos\varphi,\sin\varphi)$ を3次元の $\bm{R}$ の $xz$ 面の大円とみると、立体角 $2\pi$ を囲み、低い方の状態の $\gamma_-=+\frac12\cdot2\pi=\pi$ と一致する。

(3) $\partial_\varphi(\chi\tilde n)=\chi'\tilde n+\chi\,\partial_\varphi\tilde n$、$\partial_\varphi^2(\chi\tilde n)=\chi''\tilde n+2\chi'\partial_\varphi\tilde n+\chi\,\partial_\varphi^2\tilde n$。$\langle \tilde n |$ を掛けると、$\langle \tilde n | \partial\tilde n \rangle =-\mathrm{i} A_\varphi$ と、それを微分した $\langle \tilde n | \partial^2\tilde n \rangle =-\mathrm{i} A_\varphi'-\langle \partial\tilde n | \partial\tilde n \rangle$ から

$$-\langle \tilde n |\partial_\varphi^2\bigl(\chi| \tilde n \rangle \bigr)=-\chi''+2\mathrm{i} A_\varphi\chi'+\mathrm{i} A_\varphi'\chi+\langle \partial\tilde n | \partial\tilde n \rangle \chi =\Bigl(-\mathrm{i}\partial_\varphi-A_\varphi\Bigr)^2\chi+\Bigl(\langle \partial\tilde n | \partial\tilde n \rangle -A_\varphi^2\Bigr)\chi$$

となる（右辺の2乗を展開すると $-\chi''+2\mathrm{i} A_\varphi\chi'+\mathrm{i} A_\varphi'\chi+A_\varphi^2\chi$）。$\langle \tilde n |\hat H_{\mathrm e}| \tilde n \rangle =-\kappa$ を合わせれば問題の式になる。スカラーの項は $\langle \partial\tilde n | \partial\tilde n \rangle =\frac14+\langle \partial n | \partial n \rangle =\frac14+\frac14=\frac12$（交差項は $\langle n | \partial n \rangle =0$ で消え、$\partial_\varphi| n \rangle =-\frac12(\cos\frac\varphi2,\sin\frac\varphi2)^{\mathsf T}$ のノルムの2乗が $\frac14$）、$A_\varphi^2=\frac14$ なので $\frac{\hbar^2}{2I}\cdot\frac14$ である。半径 $\rho$ の環の上の電荷 $q$ の粒子は、環の中を磁束 $\Phi$ が貫くとき $\frac{1}{2m\rho^2}\bigl(-\mathrm{i}\hbar\partial_\varphi-\frac{q\Phi}{2\pi}\bigr)^2$ に従う（$\bm{A}$ の周方向の成分が $\Phi/(2\pi\rho)$）。$\hbar A_\varphi=q\Phi/(2\pi)$ と読み替えると、$A_\varphi=-\frac12$ は $q\Phi/h=-\frac12$、つまり磁束量子 $h/\lvert q\rvert$ の半分の磁束にあたる。

(4) $\chi=\mathrm{e}^{\mathrm{i} m\varphi}$（$m$ は整数。1価のため）を入れると、$(-\mathrm{i}\partial_\varphi+\frac12)^2\chi=(m+\frac12)^2\chi$ なので

$$E_m=-\kappa+\frac{\hbar^2}{2I}\Bigl[\Bigl(m+\frac12\Bigr)^2+\frac14\Bigr],\qquad m=0,\pm1,\pm2,\dots$$

である。$m$ と $-1-m$ が同じ準位を与えるので、すべての準位が2重に縮退し、最低準位は $m=0,-1$ の $-\kappa+\frac{\hbar^2}{2I}\cdot\frac12$ である。原子核の実効的な角運動量 $\hbar(m+\frac12)$ は半整数になる。Berry 位相を落とすと $\chi$ が $| n \rangle$ の符号の反転を知らないまま1価に量子化され、$E_m=-\kappa+\frac{\hbar^2}{2I}(m^2+\frac14)$ となって、最低準位は $m=0$ の1つだけ（縮退なし）、次が $m=\pm1$ の2重縮退になる。図 4.9.3 のとおり、厳密な準位はすべて2重に縮退していて、後者とは合わない。

(5) $\kappa=50$ で $0.5-0.4975=0.0025$、$\kappa=500$ で $0.5-0.49975=0.00025$ で、差は $1/\kappa$ に比例して減り、どちらも $1/(8\kappa)$ に等しい。(3) で落としたのは、原子核の運動エネルギーの演算子が電子の低い状態と高い状態をつなぐ項で、その大きさは $\frac{\hbar^2}{2I}\lvert \langle \text{上} | \partial_\varphi n \rangle \rvert \cdot\lvert \partial_\varphi\rvert \sim\frac{\hbar^2}{2I}$ の程度である。これが2次の摂動としてギャップ $2\kappa$ で割られて準位をずらすので、補正は $\bigl(\frac{\hbar^2}{2I}\bigr)^2/\kappa$ の大きさ、単位 $\hbar^2/(2I)$ で測って $1/\kappa$ に比例する。断熱定理の条件 $\hbar\lvert \dot{\bm{R}}\rvert \lVert \nabla\hat H\rVert /g^2\ll1$ は、原子核の回転の角速度 $\dot\varphi\sim\hbar/I$ と $\lVert \partial_\varphi\hat H_{\mathrm e}\rVert =\kappa$、$g=2\kappa$ を入れると$\frac{\hbar^2}{I\kappa}\ll1$ となり、$\kappa\gg\hbar^2/(2I)$ と同じ条件になる（検算 verify_ch4-09.py）。