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この章のまとめ

2026年10月15日11分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第3部 第2章 von Neumann エントロピーと量子相対エントロピー

AI 生成・木下が未勉強

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第2章 §3.2.7　★★★ 比べる相手を替えた D(ρ^ ∥ σ^)≥0D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)\ge0 から、エントロピーの上限・凹性・劣加法性・自由エネルギーの変分原理がすべて出る

比べる2つの状態は一般の密度行列 ρ^\hat\rho と σ^\hat\sigma で、量子相対エントロピー D(ρ^ ∥ σ^)=Tr⁡ρ^(ln⁡ρ^−ln⁡σ^)D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=\operatorname{Tr}\hat\rho(\ln\hat\rho-\ln\hat\sigma) で比べた。2つが交換すれば古典の D(p ∥ q)D(p\,\|\,q) に戻るが、交換しなければ固有基底のずれも DD に入る。当てた性質は非負性（Klein の不等式）だけで、証明は2つの固有基底の重なり ∣⟨ri∣sj⟩∣2\lvert \langle r_i | s_j \rangle \rvert ^2 が二重確率行列になることと、ln⁡\ln の凹性から出た。証明の途中で、ρ^\hat\rho の固有基底で測ると DD が下がることも読み取れた。

相手を替えて3種類のものが出た。完全に混ざった状態と比べると 0≤S(ρ^)≤ln⁡d0\le S(\hat\rho)\le\ln d、対角部分と比べると「どの基底で測っても結果のエントロピーは S(ρ^)S(\hat\rho) 以上」、混合状態と比べると Holevo 量の非負性すなわち凹性と、混合の上界 S(ρˉ)≤H(p)+∑xpxS(ρ^x)S(\bar\rho)\le H(p)+\sum_xp_xS(\hat\rho_x) が出た。周辺の積と比べると量子相互情報量 I(A;B)≥0I(A;B)\ge0（劣加法性）が出て、純粋化と組み合わせると Araki–Lieb の不等式が出た。古典と違って条件付きエントロピー S(A ∣ B)S(A\,|\,B) は負になりえて、それはもつれの目印になる。Gibbs 状態と比べると kBT D(ρ^ ∥ ρ^β)=F(ρ^)−Feqk_{\mathrm B} T\,D(\hat\rho\,\|\,\hat\rho_\beta)=F(\hat\rho)-F_{\mathrm{eq}} で、平衡状態が自由エネルギーを最小にすること、自由エネルギーの過剰分が占有数の分とコヒーレンスの分に分かれること、試行状態から上界が得られること（平均場近似）が出た。

次の章（第3部第3章）では、この章で証明を残した単調性（量子データ処理不等式）と、そこから出る強劣加法性 S(AB)+S(BC)≥S(ABC)+S(B)S(AB)+S(BC)\ge S(ABC)+S(B) を扱う。古典の第1部で非負性（第3章）の次に単調性（第4章）を示したのと同じ順番である。

この章の道具

  • S(ρ^)=−Tr⁡ρ^ln⁡ρ^S(\hat\rho)=-\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\rho（固有値の Shannon エントロピー）、D(ρ^ ∥ σ^)=Tr⁡ρ^(ln⁡ρ^−ln⁡σ^)D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)=\operatorname{Tr}\hat\rho(\ln\hat\rho-\ln\hat\sigma)、−Tr⁡ρ^ln⁡σ^=S(ρ^)+D(ρ^ ∥ σ^)-\operatorname{Tr}\hat\rho\ln\hat\sigma=S(\hat\rho)+D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)。
  • Klein：D(ρ^ ∥ σ^)≥D(p ∥ t)≥0D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma)\ge D(p\,\|\,t)\ge0（ti=⟨ri∣σ^∣ri⟩t_i=\langle r_i | \hat\sigma | r_i \rangle）、等号は ρ^=σ^\hat\rho=\hat\sigma。
  • ln⁡d−S(ρ^)=D(ρ^ ∥ 1/d)\ln d-S(\hat\rho)=D(\hat\rho\,\|\,\mathbf 1/d)、S(ΔB(ρ^))−S(ρ^)=D(ρ^ ∥ ΔB(ρ^))S(\Delta_{\mathcal B}(\hat\rho))-S(\hat\rho)=D(\hat\rho\,\|\,\Delta_{\mathcal B}(\hat\rho))、χ=S(ρˉ)−∑xpxS(ρ^x)=∑xpxD(ρ^x ∥ ρˉ)\chi=S(\bar\rho)-\sum_xp_xS(\hat\rho_x)=\sum_xp_xD(\hat\rho_x\,\|\,\bar\rho)。
  • I(A;B)=D(ρ^AB ∥ ρ^A⊗ρ^B)I(A;B)=D(\hat\rho_{AB}\,\|\,\hat\rho_A\otimes\hat\rho_B)、S(A ∣ B)=−D(ρ^AB ∥ 1A⊗ρ^B)S(A\,|\,B)=-D(\hat\rho_{AB}\,\|\,\mathbf 1_A\otimes\hat\rho_B)、純粋状態で S(A)=S(B)S(A)=S(B)、∣S(A)−S(B)∣≤S(AB)\lvert S(A)-S(B)\rvert \le S(AB)。
  • kBT D(ρ^ ∥ ρ^β)=F(ρ^)−Feqk_{\mathrm B} T\,D(\hat\rho\,\|\,\hat\rho_\beta)=F(\hat\rho)-F_{\mathrm{eq}}。占有数の分＋コヒーレンスの分に分かれる。

総合問題　位相緩和と熱化で失われる自由エネルギー ★★★

オリジナル2準位系 H^=E∣1⟩⟨1∣\hat H=E| 1 \rangle \langle 1 | を温度 TT の熱浴の中に置き、βE=ln⁡3\beta E=\ln3 とする。平衡状態は ρ^β=34∣0⟩⟨0∣+14∣1⟩⟨1∣\hat\rho_\beta=\frac34| 0 \rangle \langle 0 |+\frac14| 1 \rangle \langle 1 | である。系をはじめ ρ^0=∣+⟩⟨+∣\hat\rho_0=| + \rangle \langle + | に用意する。

  1. (1) （使う道具：第3部第1章 の量子チャネル／3.2.3節）エネルギー基底の完全な位相緩和 Δ(ρ^)=∑k=0,1∣k⟩⟨k∣ρ^∣k⟩⟨k∣\Delta(\hat\rho)=\sum_{k=0,1}| k \rangle \langle k |\hat\rho| k \rangle \langle k | を当てた ρ^1=Δ(ρ^0)\hat\rho_1=\Delta(\hat\rho_0) を求め、S(ρ^0)S(\hat\rho_0) と S(ρ^1)S(\hat\rho_1) を比べよ。この増加量を相対エントロピーで書け。
  2. (2) （使う道具：3.2.1節・3.2.5節）D(ρ^0 ∥ ρ^β)D(\hat\rho_0\,\|\,\hat\rho_\beta) と D(ρ^1 ∥ ρ^β)D(\hat\rho_1\,\|\,\hat\rho_\beta) を求め、エントロピーは増えたのに平衡状態との相対エントロピーは減ったことを、式 (3.2.26) で説明せよ。
  3. (3) （使う道具：3.2.5節／第2部第2章 の古典の Gibbs の変分原理）F(ρ^0)−FeqF(\hat\rho_0)-F_{\mathrm{eq}} と F(ρ^1)−FeqF(\hat\rho_1)-F_{\mathrm{eq}} を EE を単位にして求め、位相緩和で失われた自由エネルギーを求めよ。
  4. (4) （使う道具：3.2.3節の式 (3.2.19)）熱浴との接触を、確率 ss で状態を ρ^β\hat\rho_\beta に置き換えるチャネル Ns(ρ^)=(1−s)ρ^+sρ^β\mathcal N_s(\hat\rho)=(1-s)\hat\rho+s\hat\rho_\beta で表す。D(Ns(ρ^0) ∥ ρ^β)≤(1−s)D(ρ^0 ∥ ρ^β)D(\mathcal N_s(\hat\rho_0)\,\|\,\hat\rho_\beta)\le(1-s)D(\hat\rho_0\,\|\,\hat\rho_\beta) を示し、s=1/2s=1/2 で両辺を数値で求めよ。
  5. (5) （使う道具：3.2.4節／第3部第1章 の純粋化）ρ^β\hat\rho_\beta を純粋化した2量子ビットの状態 ∣Ψβ⟩=3/4 ∣00⟩+1/4 ∣11⟩| \Psi_\beta \rangle =\sqrt{3/4}\,| 00 \rangle +\sqrt{1/4}\,| 11 \rangle について、S(A)S(A)、S(B)S(B)、I(A;B)I(A;B)、S(A ∣ B)S(A\,|\,B) を求めよ。
解答

(1) ∣+⟩⟨+∣=12(1111)| + \rangle \langle + |=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} の非対角成分を落として ρ^1=1/2\hat\rho_1=\mathbf 1/2。S(ρ^0)=0S(\hat\rho_0)=0（純粋状態）、S(ρ^1)=ln⁡2S(\hat\rho_1)=\ln2 で、エントロピーは ln⁡2\ln2 増えた。命題 3.2.6 から、この増加量は D(ρ^0 ∥ Δ(ρ^0))=ln⁡2=0.6931D(\hat\rho_0\,\|\,\Delta(\hat\rho_0))=\ln2=0.6931 nat、すなわち ρ^0\hat\rho_0 がエネルギー基底で持っていたコヒーレンスの量である。

(2) 例題 3.2.5 から D(ρ^0 ∥ ρ^β)=12ln⁡163=0.8370D(\hat\rho_0\,\|\,\hat\rho_\beta)=\frac12\ln\frac{16}{3}=0.8370 nat。ρ^1=1/2\hat\rho_1=\mathbf 1/2 は ρ^β\hat\rho_\beta と交換するので、命題 3.2.2 からD(ρ^1 ∥ ρ^β)=D((12,12) ∥ (34,14))=12ln⁡43=0.1438D(\hat\rho_1\,\|\,\hat\rho_\beta)=D\bigl((\tfrac12,\tfrac12)\,\|\,(\tfrac34,\tfrac14)\bigr)=\frac12\ln\frac43=0.1438 nat。式 (3.2.26) では D(ρ^0 ∥ ρ^β)D(\hat\rho_0\,\|\,\hat\rho_\beta) が占有数の分 0.14380.1438 とコヒーレンスの分 0.69310.6931 の和で、位相緩和は占有数を変えずにコヒーレンスの分だけを 00 にする。平衡状態がコヒーレンスを持たないので、コヒーレンスを失うことは平衡状態に近づくことになる。エントロピーの増加は平衡に近づくことと同じではなく（平衡状態 ρ^β\hat\rho_\beta のエントロピー 0.56230.5623 は ln⁡2\ln2 より小さい）、平衡への近さを測る量は D(⋅ ∥ ρ^β)D(\cdot\,\|\,\hat\rho_\beta) である。

(3) 式 (3.2.25) から F−Feq=kBT DF-F_{\mathrm{eq}}= k_{\mathrm B} T\,D、kBT=E/ln⁡3k_{\mathrm B} T=E/\ln3。F(ρ^0)−Feq=0.8370E/1.0986=0.7619EF(\hat\rho_0)-F_{\mathrm{eq}}=0.8370E/1.0986=0.7619E、F(ρ^1)−Feq=0.1438E/1.0986=0.1309EF(\hat\rho_1)-F_{\mathrm{eq}}=0.1438E/1.0986=0.1309E。失われた自由エネルギーは kBTln⁡2=0.6309Ek_{\mathrm B} T\ln2=0.6309E である。ρ^1\hat\rho_1 の過剰分 0.1309E0.1309E は占有数の分布 (1/2,1/2)(1/2,1/2) の古典の自由エネルギーの過剰分で、第2部第2章の古典の Gibbs の変分原理の値と一致する。

(4) 式 (3.2.19) で ρ^x\hat\rho_x を ρ^0\hat\rho_0（確率 1−s1-s）と ρ^β\hat\rho_\beta（確率 ss）、σ^=ρ^β\hat\sigma=\hat\rho_\beta とするとD(Ns(ρ^0) ∥ ρ^β)≤(1−s)D(ρ^0 ∥ ρ^β)+sD(ρ^β ∥ ρ^β)=(1−s)D(ρ^0 ∥ ρ^β)D(\mathcal N_s(\hat\rho_0)\,\|\,\hat\rho_\beta)\le(1-s)D(\hat\rho_0\,\|\,\hat\rho_\beta)+sD(\hat\rho_\beta\,\|\,\hat\rho_\beta)=(1-s)D(\hat\rho_0\,\|\,\hat\rho_\beta)。s=1/2s=1/2 では N1/2(ρ^0)=(0.6250.250.250.375)\mathcal N_{1/2}(\hat\rho_0)=\begin{pmatrix}0.625&0.25\\0.25&0.375\end{pmatrix} で、数値で D=0.1721D=0.1721 nat、右辺は 0.41850.4185 nat。差 0.24640.2464 は式 (3.2.19) の Holevo 量 S(N1/2(ρ^0))−12S(ρ^0)−12S(ρ^β)=0.5275−0−0.2812S(\mathcal N_{1/2}(\hat\rho_0))-\frac12S(\hat\rho_0)-\frac12S(\hat\rho_\beta)=0.5275-0-0.2812 に等しい。熱浴との接触を表すチャネルは平衡状態に近づける向きにしか働かないことの、この章の道具で言える範囲の形である（一般のチャネルでの単調性は次の章）。

(5) ∣Ψβ⟩| \Psi_\beta \rangle は Schmidt 分解の形で λ=(3/4,1/4)\lambda=(3/4,1/4) なので、補題 3.2.10 から ρ^A=ρ^B=ρ^β\hat\rho_A=\hat\rho_B=\hat\rho_\beta、S(A)=S(B)=hb(1/4)=0.5623S(A)=S(B)=h_{\mathrm b}(1/4)=0.5623 nat。全体は純粋なので S(AB)=0S(AB)=0、I(A;B)=2×0.5623=1.1247I(A;B)=2\times0.5623=1.1247 nat、S(A ∣ B)=−0.5623S(A\,|\,B)=-0.5623 nat。平衡状態の熱的なエントロピーは、純粋化の相手とのもつれのエントロピーとみなすことができる。このように熱状態を2つの系のもつれた純粋状態の一部とみる見方は、Hawking 放射を扱う第7部第2章（第7部第2章）で使う。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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