授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第10章 §4.10.6　★★ 波束の群速度・仕事とエネルギーの勘定・Drude の式・Hall 係数の符号・Landau 準位と量子振動の周期を、この章の Hamilton 方程式と並べる

群速度と「結晶運動量の運動方程式」

学部の固体物理の授業では、半古典運動の2本の式を次のように別々に説明することが多い。速度は、波束の群速度

$$v=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k}=\frac1\hbar\frac{\mathrm{d} \varepsilon }{\mathrm{d} k}$$

として与える。運動方程式は、外力 $F$ が時間 $\mathrm{d} t$ にする仕事 $Fv\,\mathrm{d} t$ がバンドのエネルギーの変化 $\mathrm{d}\varepsilon =\frac{\mathrm{d} \varepsilon }{\mathrm{d} k}\mathrm{d} k=\hbar v\,\mathrm{d} k$ に等しいとおき、

$$Fv\,\mathrm{d} t=\hbar v\,\mathrm{d} k\quad\Longrightarrow\quad \hbar\frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{d} t}=F$$

として導く。この章ではどちらも Hamiltonian $H=\varepsilon (\bm{k})-e\phi$ の Hamilton 方程式 (4.10.5)・(4.10.6) として出た。仕事の勘定はエネルギー保存 (4.10.7) を時間で微分したものに当たり、速度に平行な力の成分しか決めない。3次元で速度に垂直な力（Lorentz 力）を決めるには、この勘定では足りず、Hamilton 方程式（あるいは前節の離散並進の議論）が要る。

Drude の式と有効質量

自由な電子の Drude の式

$$m_{\mathrm e}\frac{\mathrm{d} \bm{v}}{\mathrm{d} t}=-e(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})-\frac{m_{\mathrm e}\bm{v}}{\tau}$$

で $m_{\mathrm e}$ を有効質量 $m^*$ に替えたものは、バンドの底の近くで $\varepsilon \approx\varepsilon _0+\hbar^2\lvert \bm{k}\rvert ^2/(2m^*)$ と放物線で近似したときの式 (4.10.6) に、散乱による摩擦の項を足したものである。底の放物近似の中では $\bm{v}=\hbar\bm{k}/m^*$ で、$\hbar\dot{\bm{k}}=m^*\dot{\bm{v}}$ となり、有効質量は式 (4.10.11) の2階微分の値になる。放物近似を外したバンドの全体では $\bm{v}$ と $\hbar\bm{k}$ は比例せず、Drude の式でなく Boltzmann 方程式（第3部第8章）に式 (4.10.5)・(4.10.6) を入れて扱う。

Hall 係数の符号

授業では Hall 係数を、キャリアが電子なら $R_{\mathrm H}=-1/(ne)$、正孔なら $R_{\mathrm H}=+1/(n_{\mathrm h}e)$ と書く（$n$, $n_{\mathrm h}$ は電子と正孔の密度）。後者の正の符号は、4.10.3節の式 (4.10.13) と、上の端の負の質量から出た。Hamiltonian の言葉では、M を囲む等エネルギー線を回る向きが Γ を囲む線と逆になること（図 4.10.3）が、正の Hall 係数の幾何的な中身である。

Landau 準位と量子振動の周期

授業では、自由な電子の Schrödinger 方程式を磁場の中で解いて Landau 準位 $\varepsilon _\nu=\hbar\omega_{\mathrm c}(\nu+\frac12)+\hbar^2k_z^2/(2m_{\mathrm e})$ と縮退度 $eB/h$（面積あたり）を出し、de Haas–van Alphen 効果の周期 $\Delta(1/B)=2\pi e/(\hbar\mathcal A_{\mathrm{ext}})$ は結果として与えることが多い。この章では、周期の式 (4.10.23) は作用変数 (4.10.19) と Bohr–Sommerfeld の条件から出て、自由な電子の Landau 準位はその特別な場合だった。Schrödinger 方程式を解かずに任意のバンドの量子振動の周期が分かる理由は、$\bm{k}$ 空間の面積が作用変数そのものだからである。