この章のまとめ

(1) 一様な入力では $Y$ も一様で、$I(X;Y)=H(Y)-H(Y|X)=\ln2-h_{\mathrm b}(0.1)=0.6931-0.3251=0.3681$ nat $=0.5310$ ビットである。2元対称通信路では一様な入力が容量を達成するので、容量は1回 $0.531$ ビットで、1ビットを確実に送るには $1/0.531=1.88$ 回以上使う必要がある（長い符号で平均すれば達成できる）。上限の側（容量を超えて送れない）は Fano の不等式とデータ処理不等式（単調性）、達成の側はランダム符号で $\mathrm{e}^{-nI}$ の指数を使った。$I=D(p_{XY}\,\|\,p_Xp_Y)$ である。

(2) $X$ を知らない人にとって $Y$ は一様なので、消去の下限は $k_{\mathrm B} T\ln2=4.142\times10^{-21}\times0.6931=2.871\times10^{-21}$ J。$X$ を知っている人には $Y$ のエントロピーは $H(Y|X)=h_{\mathrm b}(0.1)$ で、下限は $k_{\mathrm B} T\,h_{\mathrm b}(0.1)=1.347\times10^{-21}$ J。差は $k_{\mathrm B} T(\ln2-h_{\mathrm b}(0.1))= k_{\mathrm B} TI=1.525\times10^{-21}$ J で、第4部第4章の「測定で得た相互情報量 $I$ から取り出せる仕事の上限 $k_{\mathrm B} TI$」をフィードバックとして使った分である。どちらの下限も非負性（$D\ge0$）から出た。

(3) $k_{\mathrm B}\ln2\le2\pi k_{\mathrm B} ER/(\hbar c)$ から $E\ge\hbar c\ln2/(2\pi R)=1.0546\times10^{-34}\times2.998\times10^8\times0.6931/(2\pi\times10^{-6})=3.49\times10^{-21}$ J。これは 300 K の $k_{\mathrm B} T=4.14\times10^{-21}$ J の $0.84$ 倍で、電子の静止エネルギー $8.19\times10^{-14}$ J よりずっと小さい。実際の記憶は静止エネルギーを含めて数えるので、上限からは遠い。この上限は、領域に制限した状態と真空の $D\ge0$（Casini）である。

(4) 一般化第二法則 $\Delta S_{\mathrm{BH}}+\Delta S_{\text{外}}\ge0$ で $\Delta S_{\text{外}}=- k_{\mathrm B}\ln2$ なら、$\Delta S_{\mathrm{BH}}\ge k_{\mathrm B}\ln2$。$S_{\mathrm{BH}}= k_{\mathrm B} A/(4\ell_{\mathrm P}^2)$ なので$\Delta A\ge4\ell_{\mathrm P}^2\ln2$。$\ell_{\mathrm P}^2=G\hbar/c^3=2.612\times10^{-70}\,\mathrm{m^2}$ から $\Delta A\ge7.24\times10^{-70}\,\mathrm{m^2}$ である。太陽質量では $T_{\mathrm H}=\hbar c^3/(8\pi GM k_{\mathrm B})=6.17\times10^{-8}$ K で、$\Delta(Mc^2)=T_{\mathrm H} k_{\mathrm B}\ln2=5.90\times10^{-31}$ J。物体を下ろす議論では $\Delta S_{\mathrm{BH}}= k_{\mathrm B} c^3\Delta A/(4G\hbar)\ge k_{\mathrm B} c^3\cdot8\pi GER/(4G\hbar c^4)=2\pi k_{\mathrm B} ER/(\hbar c)$ で、(3) の $E=\hbar c\ln2/(2\pi R)$ を入れるとちょうど $k_{\mathrm B}\ln2$ になる。つまり (3) の Bekenstein 上限は、この落とし方で一般化第二法則が破れないための条件と同じ式である。一般化第二法則は単調性（データ処理不等式）、Bekenstein 上限は非負性から出た。

(5) $S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B}=4\pi GM^2/(\hbar c)=1.05\times10^{77}$、$\ln(S_{\mathrm{BH}}/ k_{\mathrm B})=177.4$ である。前の因子は $\hbar/(2\pi k_{\mathrm B} T_{\mathrm H})=4GM/c^3=1.97\times10^{-5}$ s なので、$t_*\approx1.97\times10^{-5}\times177.4=3.49\times10^{-3}$ s。太陽質量のブラックホールの寿命（約 $2\times10^{67}$ 年。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第12章）や Page 時間（寿命と同じ桁）に比べて、きわめて短い。$D$ の性質から出た部分は、デカップリング（参照系との相互情報量が $0$ に近づけば、回復写像で情報を取り出せる。単調性と等号条件）の部分で、これが「どれだけの量の放射を集めれば足りるか」を決める。時間の $\frac{\hbar}{2\pi k_{\mathrm B} T_{\mathrm H}}\ln S$ という形は、ブラックホールが最も速く情報をかき混ぜる系であるという仮定（カオスの Lyapunov 指数の上限 $2\pi k_{\mathrm B} T/\hbar$）から出たもので、$D$ からは出ない。Page 時間を過ぎていることの保証（Page 曲線の折り返し）も、7.8.4節で見たとおり重力の計算から出た。