削り方3：対称性で残った問題を小さくする

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第1部 第1章 §1.1.4　★★★ 並進対称性を使うと、$N$ 個のサイトの問題は波数 $k$ ごとの $1\times1$（一般には小さな）行列に分かれる。これは近似でなく厳密な操作である

輪の上の tight-binding

前の2節の削り方は近似だった。3つ目の削り方は、模型を選んだあとに使う厳密な操作で、対称性を使って行列を小さなブロックに分けることである。最も簡単な例として、同じ原子 $N$ 個を間隔 $a$ で輪に並べ、隣どうしだけをホッピング $t$ でつないだ模型を考える（電子1個の問題）。サイト $j$ の軌道を $| j \rangle$ と書き、$| N+1 \rangle =| 1 \rangle$ と輪を閉じると、

$$\hat H=\sum_{j=1}^{N}\Bigl[\varepsilon _{\mathrm a}| j \rangle \langle j |-t\bigl(| j \rangle \langle j+1 |+| j+1 \rangle \langle j |\bigr)\Bigr]\tag{1.1.10}$$

である。この $\hat H$ は、すべての原子を1つ隣へずらす並進 $\hat T| j \rangle =| j+1 \rangle$ と交換する：$\left[\hat H,\,\hat T\right]=0$。

交換する2つの演算子は同時に対角化できる。$\hat T^N=1$ なので $\hat T$ の固有値は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ka}$ の形で、$ka=2\pi\nu/N$（$\nu=0,1,\dots,N-1$）に限られる。固有ベクトルは

$$| k \rangle =\frac{1}{\sqrt N}\sum_{j=1}^{N}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}| j \rangle\tag{1.1.11}$$

で、これに $\hat H$ を当てると、$| j \rangle$ の係数が $\varepsilon _{\mathrm a}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}-t\bigl(\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(j+1)a}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(j-1)a}\bigr)$ になるので

$$\hat H| k \rangle =\varepsilon (k)| k \rangle ,\qquad\varepsilon (k)=\varepsilon _{\mathrm a}-2t\cos(ka)\tag{1.1.12}$$

を得る。$N\times N$ の行列の固有値問題が、$k$ ごとの $1\times1$ の問題に分かれた。固有値は幅 $4t$ の区間 $[\varepsilon _{\mathrm a}-2t,\varepsilon _{\mathrm a}+2t]$ に $N$ 個並び、$N$ が大きくなると区間を埋めて連続な帯になる（図 1.1.2）。これがバンドで、$k$ は並進の固有値のラベルとして現れた。$k$ と $k+2\pi/a$ は同じ固有値 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ka}$ を与えるので、$k$ は幅 $2\pi/a$ の区間（Brillouin 域）だけを動けばよい。この議論を一般の周期ポテンシャルで行ったものが Bloch の定理である（第2部第3章・第2部第4章）。

図 1.1.2　輪の tight-binding 模型の固有値。実線は $\varepsilon (k)=\varepsilon _{\mathrm a}-2t\cos(ka)$、四角は $N=6$、丸は $N=24$ の行列を数値で対角化した固有値である。どちらも実線の上に乗り、$N$ を増やすと点が帯を埋める。

対称性で分ける操作は何も削らない

並進で行列をブロックに分ける操作は、固有値を1つも変えない。図 1.1.2 の点が実線に正確に乗っているのはそのためである。この巻で対称性を使う所（結晶の並進による Bloch の定理、スピンの回転による全スピンの保存、時間反転による Kramers 縮退）は、どれも模型を選んだあとの厳密な操作であり、近似の札を付けない。札は、模型を選ぶ段階（前の2節の削り方）にだけ付く。ただし対称性は、模型が対称性を持つときにしか使えない。表面・不純物・乱れがあると並進対称性が崩れ、$k$ は良い量子数でなくなる。そうした場合を扱う所（第4部の電気抵抗、第4部第7章の表面のトンネル）では、崩れの小ささを別の近似として扱う。