この章のまとめ

(1) $\int\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}=\frac{1}{8\pi^2}\int k^3\mathrm{d} k$、$u=k^2$ とおくと $\frac12\cdot\frac{1}{8\pi^2}\cdot\frac12\int_0^{\Lambda^2}u\ln(u+a)\mathrm{d} u$。原始関数 $\int u\ln(u+a)\mathrm{d} u=\frac{u^2-a^2}{2}\ln(u+a)-\frac{u^2}{4}+\frac{au}{2}$ を $0$ から $L=\Lambda^2$ まで評価し、$\ln(L+a)=\ln L+\frac aL-\frac{a^2}{2L^2}+\cdots$ を使うと

$$\int_0^Lu\ln(u+a)\mathrm{d} u=\frac{L^2}{2}\Bigl(\ln L-\frac12\Bigr)+aL+\frac{a^2}{2}\Bigl(\ln\frac aL-\frac12\Bigr)+\mathcal{O}\Bigl(\frac{a^3}{L}\Bigr).$$

$\frac{1}{32\pi^2}$ を掛ければ、$a$ によらない第1項を定数として示す式になる。

(2) $a=\frac\lambda2\phi^2$ を入れると、1ループの項は $\frac{\lambda\Lambda^2}{64\pi^2}\phi^2+\frac{\lambda^2\phi^4}{256\pi^2}\bigl(\ln\frac{\lambda\phi^2}{2\Lambda^2}-\frac12\bigr)$。$\phi^4\ln\phi^2$ の2階微分は $\phi\to0$ で $0$ になるので、$V_{\mathrm{eff}}''(0)=\frac{\lambda\Lambda^2}{32\pi^2}+\delta_m=0$ から $\delta_m=-\frac{\lambda\Lambda^2}{32\pi^2}$。式 (5.10.15) で $m\to0$ とすると $\frac\lambda2I_1=\frac{\lambda\Lambda^2}{32\pi^2}$ なので、$\delta_m=-\frac\lambda2I_1$ で式 (5.10.16) と一致する。

(3) $f(\phi)=\phi^4\ln\phi^2$ の4階微分は $24\ln\phi^2+100$ である。$V_{\mathrm{eff}}=\frac{\lambda+\delta_\lambda}{4!}\phi^4+\frac{\lambda^2}{256\pi^2}\bigl[f(\phi)+\phi^4\bigl(\ln\frac{\lambda}{2\Lambda^2}-\frac12\bigr)\bigr]$ の4階微分を $M$ で $\lambda$ に等しいとおくと

$$\delta_\lambda+\frac{24\lambda^2}{256\pi^2}\Bigl(\ln\frac{\lambda M^2}{2\Lambda^2}-\frac12+\frac{100}{24}\Bigr)=0 .$$

これを入れ直すと $\phi^4$ の係数のうち $\ln\Lambda$ を含む部分が消え、$\frac{\lambda^2\phi^4}{256\pi^2}\bigl(\ln\frac{\phi^2}{M^2}-\frac{25}{6}\bigr)$ が残る（$\frac{100}{24}=\frac{25}{6}$）。確かめとして、$\phi^4(\ln\frac{\phi^2}{M^2}-\frac{25}{6})$ の4階微分は $\phi=M$ で $24\cdot0+100-24\cdot\frac{25}{6}=0$ になり、条件を満たす。

(4) $\lambda'$ で書いた式から $\lambda$ で書いた式を引くと、$\phi^4$ の係数の差は$\frac{\lambda'-\lambda}{24}+\frac{\lambda^2}{256\pi^2}\bigl(\ln\frac{M^2}{M'^2}\bigr)=\frac{3\lambda^2}{32\pi^2\cdot24}\ln\frac{M'^2}{M^2}-\frac{\lambda^2}{256\pi^2}\ln\frac{M'^2}{M^2}=0$（$\frac{3}{32\cdot24}=\frac{1}{256}$。$\lambda'^2$ と $\lambda^2$ の差は $\lambda^3$ の次数）。したがって $M\frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} M}=\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}$ で、5.10.4節の $\mu\frac{\mathrm{d} \lambda_\mu}{\mathrm{d} \mu}$ と同じ値である。くりこみの点の選び方の自由度が、結合定数の尺度依存として現れる。

(5) $V_{\mathrm{eff}}'=\phi^3\bigl[\frac\lambda6+\frac{\lambda^2}{64\pi^2}\bigl(\ln\frac{\phi^2}{M^2}-\frac{25}{6}\bigr)+\frac{\lambda^2}{128\pi^2}\bigr]=0$ から

$$\ln\frac{\phi_*^2}{M^2}=\frac{25}{6}-\frac12-\frac{32\pi^2}{3\lambda}=\frac{11}{3}-\frac{32\pi^2}{3\lambda}.$$

$\lambda=0.1$ で $\ln(\phi_*^2/M^2)=-1049$、$\phi_*/M\approx\mathrm{e}^{-525}$ である。そこでは1ループの項の係数 $\frac{\lambda^2}{256\pi^2}\lvert \ln\frac{\phi^2}{M^2}\rvert \approx0.0042$ が木の項の係数 $\frac{\lambda}{24}=0.0042$ と同じ大きさで、展開の前提（$\frac{3\lambda}{32\pi^2}\lvert \ln\rvert \ll1$。ここでは左辺が約 $1$）が成り立たない。極小は、1ループの項が木の項を打ち消すところにできるので、この結論は $\lambda$ の値によらない。極小は1ループの式を使える範囲の外にあり、信頼できない。くりこみ群で $\lambda$ を $\phi$ の尺度まで動かしてから評価すると、この極小は消える。なお $\Gamma$ は Legendre 変換なので本来は凸で、凸でない $V_{\mathrm{eff}}$ は摂動の式の性質である。質量の無いスカラー場にゲージ場が結合した理論では、同じ形の極小がゲージ場の寄与で摂動の範囲に入りうることを、Coleman と Weinberg（1973、Phys. Rev. D 7、1888）が示した。