授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第1部 第13章 §1.13.6　★★ エネルギー保存から時間を積分で出す解き方、Binet の方程式、WKB の公式は、どれも特性関数 $W(q)$ を経由した式の一部

エネルギー保存から時間を出す解き方

1次元の運動を学部の力学で解くときは、まずエネルギー保存 $\frac12m\dot q^2+V(q)=E$ を書き、$\dot q=\sqrt{2(E-V)/m}$ を変数分離して

$$t-t_0=\int_{q_0}^{q}\frac{\mathrm{d} q'}{\sqrt{2(E-V(q'))/m}},\qquad \text{周期}\ T=\oint\frac{\mathrm{d} q}{\dot q}\tag{1.13.23}$$

とする。この章の式 (1.13.11) では、時刻は特性関数をエネルギーで微分した $\partial W/\partial E=\int(\partial p/\partial E)\,\mathrm{d} q$ として出た。$\partial p/\partial E=m/p=1/\dot q$ なので、被積分関数は同じものである。違いは、この章の形では時刻が「$W$ の $E$ 微分」という1つの量にまとまっていることで、1周の積分をとると

$$T=\oint\frac{\mathrm{d} q}{\dot q}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} E}\oint p\,\mathrm{d} q\tag{1.13.24}$$

となる。周期は、相空間で等エネルギー線が囲む面積をエネルギーで微分したものである。調和振動子では式 (1.13.13) を微分して $T=2\pi/\omega$ を得る。この関係は次の章で作用変数 $J=\frac{1}{2\pi}\oint p\,\mathrm{d} q$ を新しい運動量に選ぶ理由になる。

Kepler 問題

学部の力学では、Kepler 問題は角運動量の保存 $mr^2\dot\varphi=\alpha_\varphi$ で時間微分を $\varphi$ 微分に替え、$u=1/r$ について Binet の方程式

$$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\varphi^2}+u=\frac{mk}{\alpha_\varphi^2}$$

を導き、それを解いて $u=\frac{1}{\lambda}\bigl(1+e\cos(\varphi-\varphi_0)\bigr)$ を得ることが多い。この章では、同じ結果を1.13.4節で $\partial W/\partial\alpha_\varphi=\beta_\varphi$ の積分1つから出した。Binet の方程式は2階の常微分方程式で、積分定数 $e$, $\varphi_0$ は解いた後で初期条件から決める。Hamilton–Jacobi の側では、分離の定数 $E$, $\alpha_\varphi$ が最初から式の中にあり、離心率は $e=\sqrt{1+2E\alpha_\varphi^2/(mk^2)}$ としてそれらで書かれる。

WKB の公式

量子力学の教科書では、時間に依らない1次元の Schrödinger 方程式の近似解として

$$\psi(q)\approx\frac{C}{\sqrt{p(q)}}\exp\Bigl(\pm\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\int^qp(q')\,\mathrm{d} q'\Bigr),\qquad p(q)=\sqrt{2m(E-V(q))}$$

を WKB の公式として習う。指数の中の $\int p\,\mathrm{d} q$ は特性関数 (1.13.10) そのもので、符号 $\pm$ は $W$ の2つの枝（右向きと左向きの運動）にあたる。前の因子 $1/\sqrt p$ は、時間に依らない場合の連続の式 (1.13.21)、すなわち $\mathrm{d}(A^2p/m)/\mathrm{d} q=0$ から出る $A\propto p^{-1/2}$ である。古典的には、粒子の速さが遅い所ほど長く留まるので見つかる確率が高い、という事情を表している。