橋：基準・流体・軌道・虚時間・Brown 運動

量子力学の様々な構成方法　第7部 第5章 §7.5.6　★★★ Nelson の過程を、基準の波動関数・第7部の流体と軌道・第3部の虚時間・古典の Brown 運動の言葉で書き直し、どこまで同値かを示す

基準の言葉で：2つの速度は $\nabla\psi/\psi$ の実部と虚部

$\psi=\sqrt\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ の対数微分は $\nabla\psi/\psi=\tfrac12\nabla\ln\rho+\mathrm{i}\nabla S/\hbar$ なので、$\hbar/m$ を掛けて

$$\frac{\hbar}{m}\frac{\nabla\psi}{\psi}=\bm{u}+\mathrm{i}\,\bm{v},\qquad \bm{b}=\frac{\hbar}{m}\bigl(\operatorname{Re}+\operatorname{Im}\bigr)\frac{\nabla\psi}{\psi},\qquad \bm{b}_*=\frac{\hbar}{m}\bigl(\operatorname{Im}-\operatorname{Re}\bigr)\frac{\nabla\psi}{\psi}\tag{7.5.26}$$

となる。第7部第4章の運動量の弱値 $p_{\mathrm w}=m v-\mathrm{i} mu$（第7部第4章）と比べると、Nelson の浸透速度はちょうど弱値の虚部を $-m$ で割ったものである。Bohm の力学が弱値の実部だけを速度に使ったのに対し、Nelson の過程は実部と虚部の両方をドリフトに使う。例題 7.5.2 の$\langle \hat p^2 \rangle =m^2\langle v^2+u^2 \rangle$ は、$\lvert p_{\mathrm w}\rvert ^2=m^2(v^2+u^2)$ の $\rho$ での平均でもある。

第7部の流体の言葉で：量子応力は浸透速度の勾配

第7部第1章で、量子ポテンシャルの力を量子応力 $P_{ij}=-(\hbar^2/(4m))\rho\,\partial_i\partial_j\ln\rho$ の発散に書いた。$\partial_j\ln\rho=u_j/\nu$ を入れると

$$P_{ij}=-m\nu\,\rho\,\partial_iu_j,\qquad \int\rho Q\,\mathrm{d}^3r=\frac m2\int\rho\lvert \bm{u}\rvert ^2\mathrm{d}^3r\tag{7.5.27}$$

で、量子応力は浸透速度の勾配に $-m\nu\rho$ を掛けた形になる。粘性流体の応力が速度の勾配に粘性係数を掛けた形であるのと同じ構造で、「量子圧力の正体」は各点の運動量の広がり（第7部第2章）であり、Nelson の言葉ではそれが浸透速度の揺れとして現れる。

Bohm の軌道との関係：拡散を止める

Nelson の過程から拡散と浸透速度を取り除くと、つまり $\mathrm{d} X=\bm{b}\,\mathrm{d} t+\mathrm{d} W$ で $\mathrm{d} W\to0$、$\bm{b}\to\bm{v}$ とすると、案内方程式 $\dot X=\bm{v}$ が残る。どちらの過程も各時刻の分布は $\lvert \psi\rvert ^2$（等変性）なので、1時刻の予言は区別できない。違うのは道筋だけで、基底状態では Bohm の粒子は止まり、Nelson の粒子はOrnstein–Uhlenbeck 過程で揺れる。どちらの道筋も測定の統計からは読み取れないことは、第7部第4章の「同値な部分と解釈の部分」の表と同じ事情である。

$\hbar\to0$ では $\nu=\hbar/(2m)\to0$ で拡散が消え、$u=\nu\nabla\ln\rho\to0$ で浸透速度も消える（$\rho$ を $\hbar$ によらず固定する）。残るのは $\dot X=\bm{v}$、$\bm{v}=\nabla S/m$ で、$S$ は量子ポテンシャルを落とした古典の Hamilton–Jacobi 方程式に従う。Nelson の過程の古典極限は、第7部第2章の単一運動量の古典粒子の集団に一致する。

虚時間の言葉で：基底状態の過程は虚時間の経路積分

基底状態の過程の生成作用素を基準の言葉で書くと、第3部第6章の虚時間の時間発展につながる。$\psi_0>0$ を実の基底状態（エネルギー $E_0$）とする。$v=0$、$\bm{b}=\bm{u}=\nu\nabla\ln\psi_0^2=2\nu\nabla\psi_0/\psi_0$ なので、過程の生成作用素（$t$ によらない $f$ についての $\mathrm D$）は

$$\mathcal Lf=\nu\nabla^2f+2\nu\frac{\nabla\psi_0}{\psi_0}\cdot\nabla f .\tag{7.5.28}$$

証明

$\nabla^2(\psi_0f)=f\nabla^2\psi_0+2\nabla\psi_0\cdot\nabla f+\psi_0\nabla^2f$ なので$(\hat H-E_0)(\psi_0f)=f(\hat H-E_0)\psi_0-\frac{\hbar^2}{2m}(2\nabla\psi_0\cdot\nabla f+\psi_0\nabla^2f)$。第1項は $0$ で、$\psi_0$ で割ると$-\frac{\hbar^2}{2m}(\nabla^2f+2\nabla\psi_0\cdot\nabla f/\psi_0)=-\hbar\nu(\nabla^2f+2\nabla\psi_0\cdot\nabla f/\psi_0)=-\hbar\mathcal Lf$。指数関数の形は両辺の時間微分の式が一致し $t=0$ で等しいことから従う。

この命題から、定常な基底状態の過程の2時刻の相関は$\mathrm E[f(X(0))g(X(t))]=\int\psi_0f\,\mathrm{e}^{-(\hat H-E_0)t/\hbar}(\psi_0g)\,\mathrm{d} x=\langle \psi_0 | \hat f\,\mathrm{e}^{-(\hat H-E_0)t/\hbar}\hat g | \psi_0 \rangle$ で、虚時間の基底状態の相関関数（第3部第6章で $\beta\to\infty$ とした経路積分の相関）に等しい。調和振動子で $f=g=x$ と取ると $\hat x| 0 \rangle$ は $| 1 \rangle$ に比例するので $\sigma_{\mathrm g}^2\mathrm{e}^{-\omega t}$ になり、(7.5.18) と一致する。虚時間の経路積分を Wiener 測度で書き直す Feynman–Kac の公式は、この命題を基底状態でない一般の場合に広げたもので、第7部第6章で扱う。ここで等しいのは「Nelson の実時間の相関」と「基準の虚時間の相関」であり、基準の実時間の相関（$\cos\omega t$）とは一致しない点に注意する。

古典の Brown 運動との違い

古典の過減衰の Brown 運動（相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第4部第1章）では、摩擦係数 $\gamma_{\mathrm f}$ の粒子が $\mathrm{d} X=(F/\gamma_{\mathrm f})\mathrm{d} t+\mathrm{d} W$ に従い、拡散係数は Einstein の関係 $\nu= k_{\mathrm B} T/\gamma_{\mathrm f}$ で温度と摩擦から決まる。ドリフトは力に比例し、平衡分布は $\mathrm{e}^{-V/ k_{\mathrm B} T}$ で、熱浴へエネルギーを捨てて平衡に緩和する。Nelson の過程は同じ形の確率微分方程式だが、3点で違う。拡散係数は温度でなく $\hbar/(2m)$ で決まる。ドリフトは力から直接でなく、平均の加速度の Newton の法則を通して決まる。そして要請 (N4) のとおり時間反転について対称で、エネルギー $\int\rho[\tfrac m2(v^2+u^2)+V]$ は保存し、熱浴へ捨てられることは無い。

まとめの地図