この章のまとめ

(1) $\{q,qp\}=\frac{\partial (qp)}{\partial p}=q$、$\{p,qp\}=-\frac{\partial (qp)}{\partial q}=-p$。Lie 級数 $q(\epsilon)=q+\epsilon\{q,D\}+\frac{\epsilon^2}{2!}\{\{q,D\},D\}+\cdots=q\sum_n\epsilon^n/n!=\mathrm{e}^{\epsilon}q$、同様に $p(\epsilon)=\mathrm{e}^{-\epsilon}p$。位置を $\mathrm{e}^\epsilon$ 倍に伸ばし運動量を $\mathrm{e}^{-\epsilon}$ 倍に縮める変換で、相空間の面積 $qp$ を保つ（第1部第11章の図の伸縮）。

(2) 式 (4.1.13) から $(\hat q\hat p)^\dagger=\hat q\hat p-\mathrm{i}\hbar\ne\hat q\hat p$。位置表示では

$$\hat D\psi=\tfrac12\bigl(-\mathrm{i}\hbar x\psi'-\mathrm{i}\hbar(x\psi)'\bigr)=-\mathrm{i}\hbar\Bigl(x\frac{\mathrm{d} \psi}{\mathrm{d} x}+\frac12\psi\Bigr).$$

実数値の $\psi$ では $\langle \psi | \hat D\psi \rangle =-\mathrm{i}\hbar\int\bigl(x\psi\psi'+\frac12\psi^2\bigr)\mathrm{d} x$ で、部分積分 $\int x\psi\psi'\mathrm{d} x=\int x\,\frac12(\psi^2)'\mathrm{d} x=-\frac12\int\psi^2\mathrm{d} x=-\frac12$ を使うと $0$ になる。$\hat D$ はエルミートなので期待値は実数になるはずで、実の $\psi$ では期待値が $-\mathrm{i}\hbar\times(\text{実数})$ の形になるから、両者が両立する値は $0$ に限られる。したがって $\langle \psi | \hat q\hat p\,\psi \rangle =\langle \psi | (\hat D+\mathrm{i}\hbar/2)\psi \rangle =\mathrm{i}\hbar/2$ で、古典では実数のはずの「$qp$ の平均」が純虚数になる。

(3) $\left[\hat q,\,\hat q\hat p\right]=\hat q\left[\hat q,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar\hat q$、$\left[\hat q,\,\hat p\hat q\right]=\left[\hat q,\,\hat p\right]\hat q=\mathrm{i}\hbar\hat q$ なので $\left[\hat q,\,\hat D\right]=\mathrm{i}\hbar\hat q$。同様に $\left[\hat p,\,\hat q\hat p\right]=-\mathrm{i}\hbar\hat p$、$\left[\hat p,\,\hat p\hat q\right]=-\mathrm{i}\hbar\hat p$ から $\left[\hat p,\,\hat D\right]=-\mathrm{i}\hbar\hat p$。$\mathrm{i}\hbar$ で割ると $\hat q$, $-\hat p$ で、(1) の $\{q,D\}=q$, $\{p,D\}=-p$ と補正なしで一致する。$D=qp$ は2次式なので、命題 4.1.4 により規則が厳密に成り立つ。

(4) $\Psi(\epsilon,x)=\mathrm{e}^{-\epsilon/2}\psi(\mathrm{e}^{-\epsilon}x)$ を $\epsilon$ で微分すると$\partial_\epsilon\Psi=-\frac12\Psi-x\,\partial_x\Psi=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat D\Psi$（(2) の $\hat D$ の形を使った）で、$\Psi(0,x)=\psi(x)$。これは $\Psi=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon\hat D/\hbar}\psi$ が満たす微分方程式と初期条件そのものなので、両者は一致する。ノルムは $y=\mathrm{e}^{-\epsilon}x$ と置き換えて $\int\mathrm{e}^{-\epsilon}|\psi(\mathrm{e}^{-\epsilon}x)|^2\mathrm{d} x=\int|\psi(y)|^2\mathrm{d} y$ で保たれる。同じ置き換えで $\int x\,\mathrm{e}^{-\epsilon}|\psi(\mathrm{e}^{-\epsilon}x)|^2\mathrm{d} x=\mathrm{e}^{\epsilon}\int y|\psi(y)|^2\mathrm{d} y=\mathrm{e}^\epsilon\langle \hat q \rangle$。これは 4.1.2節の $\hat U^\dagger\hat q\hat U=\hat q+\epsilon\left[\hat q,\,\hat D\right]/(\mathrm{i}\hbar)+\cdots=\mathrm{e}^\epsilon\hat q$ と同じ内容で、古典の正準変換 $(q,p)\mapsto(\mathrm{e}^\epsilon q,\mathrm{e}^{-\epsilon}p)$（第1部第12章）が量子力学ではユニタリ変換になっている。因子 $\mathrm{e}^{-\epsilon/2}$ は、波動関数の引数を伸ばしたときに確率の合計を $1$ に保つためのもので、(2) の $\frac12\psi$ の項に対応する。

(5) (3) と Leibniz 則から $\left[\hat D,\,\hat p^2\right]=\left[\hat D,\,\hat p\right]\hat p+\hat p\left[\hat D,\,\hat p\right]=2\mathrm{i}\hbar\hat p^2$。また位置表示で$\left[\hat D,\,V\right]\psi=-\mathrm{i}\hbar\bigl(x(V\psi)'-xV\psi'\bigr)=-\mathrm{i}\hbar xV'\psi$。よって

$$\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left[\hat D,\,\hat H\right]=\frac{\hat p^2}{m}-\hat qV'(\hat q),$$

古典の $\{qp,H\}=p\cdot\frac pm-q\,V'(q)$ と同じ形で、補正は無い（$D$ が2次式なので命題 4.1.4 が使える）。$\hat H$ の固有状態 $| E \rangle$ では $\langle E | \left[\hat D,\,\hat H\right] | E \rangle =(E-E)\langle E | \hat D | E \rangle =0$ なので、$\langle \hat p^2/m \rangle =\langle \hat qV'(\hat q) \rangle$、すなわち $2\langle \hat T \rangle =\langle \hat qV'(\hat q) \rangle$（量子力学のビリアル定理）。古典力学では、有界な運動について $\frac{\mathrm{d} (qp)}{\mathrm{d} t}=2T-qV'$ を長時間平均して同じ式を得る。量子力学では時間平均の代わりに、固有状態での期待値が時間に依らないことを使っている。

(6) $V=\lambda q^4$ では $qV'=4\lambda q^4=4V$ なので $2\langle \hat T \rangle =4\langle V \rangle$、$\langle \hat T \rangle =2\langle V \rangle$。$E=\langle \hat T \rangle +\langle V \rangle =3\langle V \rangle$ より

$$\langle V \rangle =E_0/3=0.223,\qquad \langle \hat T \rangle =2E_0/3=0.445 .$$

調和振動子 $V=\frac12m\omega^2q^2$ なら $qV'=2V$ で $\langle \hat T \rangle =\langle V \rangle =E/2$ となり、基底状態では $\hbar\omega/4$ ずつに分かれる。ビリアル定理は $V$ の形によらず成り立つが、それは $\hat D$ が2次式で、括弧から交換子への規則が厳密に成り立つ生成子だからである。