この章のまとめ

(1) Lagrangian は $L=\frac C2(\dot\Phi_1^2+\dot\Phi_2^2)+\frac{C_{\mathrm c}}2(\dot\Phi_1-\dot\Phi_2)^2-\frac{\Phi_1^2+\Phi_2^2}{2L_{\mathrm{ind}}}$ で、(2.5.14) の $C_1=C_2=C$ の静電容量行列を持つ。$\mathsf C^{-1}$ の対角は $(C+C_{\mathrm c})/D$、非対角は $C_{\mathrm c}/D$、$D=C^2+2CC_{\mathrm c}$ なので、Hamiltonian は問題の形になる。各共振器の実効的な容量は $C_{\mathrm{eff}}=D/(C+C_{\mathrm c})=C(C+2C_{\mathrm c})/(C+C_{\mathrm c})=403.96\,\mathrm{fF}$ で、$\omega_0=1/\sqrt{L_{\mathrm{ind}}C_{\mathrm{eff}}}$ から$L_{\mathrm{ind}}=1/(\omega_0^2C_{\mathrm{eff}})=2.508\,\mathrm{nH}$。

(2) 各共振器で (2.5.7) を使い、$\hat Q_i=\mathrm{i} Q_{\mathrm{zpf}}(\hat a_i^\dagger-\hat a_i)$、$Q_{\mathrm{zpf}}^2=\hbar/(2Z_{\mathrm{eff}})=\hbar\omega_0C_{\mathrm{eff}}/2$ とする。$\hat Q_1\hat Q_2=-Q_{\mathrm{zpf}}^2(\hat a_1^\dagger-\hat a_1)(\hat a_2^\dagger-\hat a_2)$ の展開のうち $\hat a_1^\dagger\hat a_2^\dagger$ と $\hat a_1\hat a_2$ は励起の数を2つ変え、回転する座標では $\mathrm{e}^{\pm2\mathrm{i}\omega_0t}$ で振動するので捨てる。残りは $Q_{\mathrm{zpf}}^2(\hat a_1^\dagger\hat a_2+\hat a_1\hat a_2^\dagger)$ で、係数 $C_{\mathrm c}/D$ を掛けて

$$\hbar g=\frac{C_{\mathrm c}}{D}\cdot\frac{\hbar\omega_0C_{\mathrm{eff}}}{2}=\frac{C_{\mathrm c}}{D}\cdot\frac{\hbar\omega_0D}{2(C+C_{\mathrm c})},\qquad g=\frac{C_{\mathrm c}\,\omega_0}{2(C+C_{\mathrm c})}.$$

$g/2\pi=4\times5\,\mathrm{GHz}/(2\times404)=24.75\,\mathrm{MHz}$。$C_{\mathrm c}\ll C$ では $g\approx(C_{\mathrm c}/2C)\omega_0=25\,\mathrm{MHz}\times2\pi$ である。

(3) 古典の運動方程式 $\mathsf C\ddot\Phi=-\Phi/L_{\mathrm{ind}}$ の基準振動は、対称 $\Phi_1=\Phi_2$（結合容量に電圧がかからない）で $\omega_{\mathrm s}=1/\sqrt{L_{\mathrm{ind}}C}$、反対称 $\Phi_1=-\Phi_2$ で $\mathsf C$ の固有値が $C+2C_{\mathrm c}$ になり $\omega_{\mathrm a}=1/\sqrt{L_{\mathrm{ind}}(C+2C_{\mathrm c})}$。数では $5.0247\,\mathrm{GHz}$ と $4.9752\,\mathrm{GHz}$ で、差は $49.51\,\mathrm{MHz}$、$2g/2\pi=49.50\,\mathrm{MHz}$ と $0.02\,\%$ で一致する。Hamiltonian は2次なので、Heisenberg 方程式は古典と同じ線形の方程式で（第2部第3章）、量子の系は振動数 $\omega_{\mathrm s}$, $\omega_{\mathrm a}$ の独立な2つの振動子に厳密に分かれる。1励起の2つの準位はそれぞれのモードに光子が1個ある状態で、分裂は厳密に $\hbar(\omega_{\mathrm s}-\omega_{\mathrm a})$ である。$2g$ との小さな差は (2) で捨てた項（$g/\omega_0\approx5\times10^{-3}$ の次数）による。

(4) 1励起の部分空間 $\{| 1,0 \rangle ,| 0,1 \rangle \}$ で、Hamiltonian は定数を除いて $\hbar\begin{pmatrix}\Delta/2&g\\g&-\Delta/2\end{pmatrix}$。これは共通例題②の形 $-(\hbar\Delta'/2)\sigma_z-(\hbar\Omega/2)\sigma_x$ で $\Delta'=-\Delta$、$\Omega=-2g$ と置いたものなので、(2.5.27) により $P_{1\to2}(t)=\frac{4g^2}{4g^2+\Delta^2}\sin^2\frac{\sqrt{4g^2+\Delta^2}\,t}{2}$。最大は $4g^2/(4g^2+\Delta^2)=49.5^2/(49.5^2+10^2)=0.961$。共鳴では $P=\sin^2 gt$ で、$t=\pi/(2g)=1/(4\times24.75\,\mathrm{MHz})=10.1\,\mathrm{ns}$ で完全に移る。光子が共振器の間を行き来する現象は、2準位系の Rabi 振動と同じ式に従う。

(5) $\hbar\omega_0/( k_{\mathrm B} T)=h\times5\times10^9/(1.381\times10^{-23}\times0.05)=4.80$。1つの共振器が基底状態にいる確率は $\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0/2}/Z_{\mathrm{th}}=1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_0}=0.9918$（$Z_{\mathrm{th}}=1/(2\sinh(\beta\hbar\omega_0/2))$ を使った）。2つとも基底状態にいる確率は $0.9918^2=0.984$。平均の光子数は1つあたり $\langle \hat n \rangle =1/(\mathrm{e}^{4.80}-1)=8.3\times10^{-3}$ である。